Problème de scrutin
Bonsoir,
Je souhaite m'entraîner sur cette partie du capes agricole 2017.
1) a) $\binom{5}{2}= \binom{5}{3} =10$
b) $AAABB , ABABA , AABAB , ABBAA , BBAAA , AABBA , BAAAB , BABAA , BAABA , ABAAB.$
2) a) C'est le nombre de parties de $m$ éléments parmi $m+n$ éléments.
b) Je bloque à cette question.
Je souhaite m'entraîner sur cette partie du capes agricole 2017.
1) a) $\binom{5}{2}= \binom{5}{3} =10$
b) $AAABB , ABABA , AABAB , ABBAA , BBAAA , AABBA , BAAAB , BABAA , BAABA , ABAAB.$
2) a) C'est le nombre de parties de $m$ éléments parmi $m+n$ éléments.
b) Je bloque à cette question.
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Réponses
La 2b une fois le 1er bulletin choisi comment choisir les autres ?
Etc.
Pour la 2b je dirais $\dfrac{1}{2} \binom{m+n-1}{m}$
La 2c je ne vois pas.
La 2a ta réponse est un scandale
La 2b est fausse, mais je t'invite à écrire ton raisonnement avant de donner ta réponse au pif
Bah je ne comprends pas la question alors.
La 2a c'est le nombre de combinaisons de $m$ éléments dans un ensemble à $m+n$ éléments.
On commence par choisir le candidats $B$ puis il reste $m-1$ choix parmi $m+n-1$ donc la réponse est $\binom{m+n-1}{m}$. Il reste $m$ voix pour $A$ mais on a fixé $B$ donc à la fin il ne reste au total que $m+n-1$ éléments.
Tu comprendrais parfaitement cette question si tu lisais correctement l'énoncé.
Une aide à la lecture :
La propriété $\mathcal{P}$ est : "le nombre de voix obtenus par $A$ est [size=x-large]STRICTEMENT[/size] supérieur au nombre de voix obtenues par $B$ pendant [size=x-large]TOUT[/size] le dépouillement".
Le dépouillement $ABABA$, entre autres, ne vérifie donc pas la propriété $\mathcal{P}$.
Par contre avec un dépouillement du type $AABAB$ tu vois bien que le nombre de voix $A$ est strictement plus grand que les voix $B$ durant tout le dépouillement car tu obtiens durant le dépouillement :
$A$
$AA$
$AAB$
$AABA$
$AABAB$
à chaque étape il y a plus de $A$.
À l'étape 2 du dépouillement, tu as $AB$ et donc une voix pour chacun. La propriété $\mathcal{P}$ n'est pas respectée ($1$ n'est pas strictement supérieur à $1$).
Edit : raoul.S a expliqué ça mieux que moi pendant que je rédigeais mon message.
Il y a donc :
$AAABB$ et $AABAB$. Je n'en vois pas d'autres.
Pour la 2)a et 2)b c'est juste ce que j'ai écrit ?
Je ne comprends pas ce que tu dis. Que signifie "On commence par choisir le candidats $B$" ? Que l'on commence par choisir les places occupées par la lettre $B$ dans le mot qui représente le dépouillement ?
Si oui, pourquoi reste-t-il $m-1$ choix parmi $m+n-1$ ? Je ne comprends pas.
Un peu d'aide pour cette question (qui se résout littéralement en une phrase) :
Pour la 2 b), noobey t'a répondu :
2) b) Il y a $n$ voix pour $B$. Or on commence par $B$, il reste $n-1$ voix à choisir pour $B$ parmi les $m+n-1$ restantes, il y a donc $\binom{m+n-1}{n-1}$ dépouillements possibles.
2)c) Je ne trouve pas.
Tu ne fais que donner la "définition" de $\binom{m+n}{m}$ mais tu n'expliques absolument pas pourquoi ce nombre correspond au nombre de dépouillement.
Autrement dit : tu n'as absolument rien justifié. Tu avais d'ailleurs déjà écrit une chose similaire (bien qu'imprécise) dans ton premier message et noobey t'avait signalé que ça n'était pas acceptable.
OK pour la 2) b). Tu devrais t'inspirer de ta réponse à 2) b) pour rédiger 2) a).
Pour la 2) c), la question commence par "en déduire". Pour être sûr : que signifie "en déduire" dans un énoncé d'exercice de mathématiques ?
2)a) On commence par $m$ bulletins pour le candidats $B$ ce qui fait $m$ choix parmi $m+n$.
La 2)c) :
Le nombre de dépouillement vérifiant $P$ ne peut pas commencer par $B$. Notons $N$ ce nombre de dépouillement. On a alors :
$N \leq \binom{m+n}{m} - \binom{m+n-1}{n-1}$
Or $\binom{m+n}{m} - \binom{m+n-1}{n-1} = \dfrac{(m+n) ! }{m ! n !} - \dfrac{(m+n-1) ! }{m ! (n-1) !}$
Ce qui donne $\binom{m+n}{m} - \binom{m+n-1}{n-1} = \dfrac{(m+n-1)!}{m!} ( \dfrac{m+n}{n!} - \dfrac{n}{n!}) \\
= \dfrac{(m+n-1)!}{(m-1) ! n!} = \binom{m+n-1}{m-1}$
On a montré : $\boxed{N \leq \binom{m+n-1}{m-1}}$
4)a)
C'est $S$.
b) Je ne trouve pas.
L'ensemble $D$ désigne les dépouillements qui commencent par $B$
L'ensemble $R$ les dépouillements où à un moment on a autant de voix pour $A$ que pour $B$.
Encore une fois juste de la compréhension d'énoncé!
Les lignes qui passent coupent l'axe des abcisses ne passent pas forcément par $(1,-1)$
Donc $D \ne R$ je ne peux rien dire en terme d'inclusion.
Pareil pour $S$ et $C$ je ne vois aucune inclusion.
Je ne comprends pas cette question.
1. Relis le début de la question 2 !
2. Traduis les définitions des ensembles $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$, etc. avec le contexte : $\mathcal{D}$ représente l'ensemble des dépouillements qui vérifient ceci-cela.
$R$ l'ensemble des dépouillements qui à un moment donné va comporter autant de bulletins de $A$ et $B$.
On a calculé le cardinal de $D$ mais je ne connais pas celui de $R$.
Si tu relis le début de la question 2, l'inclusion cherchée est immédiate sans connaître le cardinal de qui que ce soit.
Merci vous m'avez débloqué
$D \subset R$ car il y a plus de voix pour $A$ à la fin.
De même $C \subset S$.
4)c) Je viens d'étudier dans mon cours les égalités avec les cardinaux.
J'aimerais écrire $L=C \cup D = R \cup S$
Mais je ne trouve rien d'intéressant en ayant tenté d'utilisé les formules de cardinal de A union B.
La ligne brisée représentant un dépouillement du type $ABB...$ est dans $\mathcal{C}$ mais pas dans $\mathcal{S}$.
Pour la 4)c) : le membre de gauche est une somme de cardinaux. Ça doit t'indiquer une idée concernant les ensembles dont on considère le cardinal.
$L$ représente l'ensemble des lignes brisées représentant un dépouillement.
Elles passent toutes forcément par $(1,-1)$ ou $(1,1)$ donc $L=C \cup D$ et $L=R \cup S$
$card (L)=card (C) + card (D) - card (C \cap D) = card(R)+card(S)-card(R \cap S)$
Je n'arrive pas à trouver quelque chose qui ressemble au résultat.
Ensuite, on te dit que $\mathcal{L}$ est un ensemble de lignes brisées, pas de points.
Par ailleurs, tes suites de points (pour reprendre ta formulation) sont finies.
Enfin, crois que tu trouveras le point de coordonnées $(1;42)$ dans ces lignes brisées ?
Tu vois que ta réponse à noobey ne peut convenir. Sois précis !
$card(S)=2$
$card(D)=0$
$card(R \cap C)=0$
$card(L=2$
On a bien $2=2$.
Non car $y_{k+1}=y_{k}-1$ ou $y_{k+1}=y_{k}+1$. A chaque fois qu'on avance de 1 on monte de 1 ou on descend de 1.
Pour poursuivre l'idée évoquée dans ce message : oublie les cardinaux un instant et regarde sur de petites valeurs de $m$ et $n$ ce que sont $\mathcal{S}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{R} \cap \mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{L}$.
$D \subset R$ car à la fin il y a plus de voix pour $A$ donc on doit forcément traverser l'axe des abscisses.
$S \subset C$ car si une ligne admet l'origine comme unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, elle passe forcément par le point $(1,1)$.
4)c)
On a $card(R \cap C)=card(R)+card(C)-card(R \cup C)$
Je n'aboutis à rien j'ai essayé 50 combinaisons possibles.
Avec l'égalité $\text{Card} \left(A \cup B \right) = \text{Card} \left(A \right) + \text{Card} \left(B \right) - \text{Card} \left(A \cap B \right)$, tu n'arriveras à rien dans cette question.
Tu es sur une mauvaise piste. En soit, ce n'est pas grave, il nous arrive à tous d'emprunter des mauvaises pistes quand on cherche à résoudre un exercice en mathématiques. Mais, là, on est (au moins) deux à essayer de t'aider, on te propose des pistes à explorer, des choses à faire mais tu t'entêtes sur ton chemin alors qu'on t'a dit qu'il était fermé.
Ce que tu fais est voué à l'échec, tu es dans une impasse et voilà le panneau qui te l'indique : dans ce qu'on te demande de montrer qu'il y a $\text{Card} \left(\mathcal{R} \cap \mathcal{C}\right)$ mais ni $\text{Card} \left(\mathcal{R}\right)$, ni $\text{Card} \left(\mathcal{C}\right)$.
Tu as deux choses à faire :
1. Répondre précisément à la question de noobey.
et/ou
2. suivre """mon""" idée :
Peux-tu rédiger ta solution à ces deux questions aussi rigoureusement que possible ?
Je n'ai pas le barème mais je pense que tu n'aurais pas tous les points avec une telle explication.
Pour montrer une inclusion entre ensembles $A \subset B$, ça ressemble normalement à ça (en général, il est parfois raisonner par contraposée, par exemple) :
Soit $x \in A$.
Alors bla bla bla.
Donc $x \in B$.
Pour l'instant je ne vois pas de mathématiques dans ton exercice, juste des tests simples et efficaces pour voir la compréhension de l'étudiant.
Peux-tu au moins essayer de faire des réponses précises ?
J'ai construit les lignes brisées pour $m=3$ et $n=2$
Hormis le fait que l'ensemble que tu définis contient, par exemple, le couple $(1;42)$, ce qui est grossièrement faux comme on l'a déjà dit, cet ensemble est un ensemble de POINTS, pas de lignes brisées.
La réponse à la question de noobey est en grande partie écrite dans l'énoncé, au début de la question 3.
Edit : je répondais à ce message.
$R$ et $S$ sont disjoints donc $card(R \cap S)=0$
Or tout ligne brisée passe forcément par $(1,1)$ ou $(1,-1)$ on a $card(S)+card(D)+0 =card(L)$
Ça ne vaut peut-être pas le coup de tous les écrire mais peux-tu donner deux autres éléments de $\mathcal{L}$ ?
Note, au passage, qu'écrit ainsi, tu confonds les points et leurs coordonnées. Pas sûr que tu en aies conscience mais admettons.