Équivalence asymptotique

Sylvain · March 2009

Bonjour,
j'aimerais connaître la commande $\LaTeX$ qui permet d'écrire que deux quantités sont asymptotiquement égales, comme la fonction de comptage des nombres premiers $\pi (x)$ est asymptotiquement égale à $\frac{x}{\log x}$.
Merci d'avance.

nicolas.patrois · March 2009

$\approx$ ? $\sim$ ?

gb · March 2009

Ou $\sim$ (\verb=\sim=) ??
\[\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}\]

Sylvain · March 2009

Merci à vous deux.

mcd · May 2020

Bonjour,

Peut-on rajouter proprement une $n \rightarrow + \infty$ en dessous de la commande $\sim$ ?

noix de totos · May 2020

Certains auteurs utilisent effectivement cet ajout, mais il n'est pas standardisé. On écrit plutôt généralement sous la forme suivante :

lorsque $x \to \infty$, on a $\pi(x) \sim \textrm{Li}(x)$.

Si tu le veux vraiment, on peut écrire $\pi(x) \underset{x \to \infty}{\Large \sim} \textrm{Li}(x)$.

mcd · May 2020

Merci noix de totos !

brian · May 2020

Notez qu'avec LaTeX (contrairement à MathJax, visiblement), le \Large dans {\Large \sim} n'a pas d'effet car \Large s'occupe de la police pour le texte (pas pour les maths) et il n'y a pas de passage en mode horizontal avant le \sim ici. Pour faire un \sim plus large que la normale, on peut utiliser cette adaptation d'un bout de code d'egreg (ajout de \m@th et de \widesimunder par votre serviteur) :

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}

\makeatletter
\newcommand{\widesimover}[2][1.5]{%
  \mathrel{\overset{#2}{\scalebox{#1}[1]{$\m@th\sim$}}}%
}

\newcommand{\widesimunder}[2][1.5]{%
  \mathrel{\underset{#2}{\scalebox{#1}[1]{$\m@th\sim$}}}%
}
\makeatother

\DeclareMathOperator{\Li}{Li}

\begin{document}
$A \widesimover{S} B$

$A \widesimover[2]{SS} B$

$\pi(x) \widesimunder[2]{x\to+\infty} \Li(x)$

$\pi(x) \widesimunder[3]{x\to+\infty} \Li(x)$
\end{document}

L'argument optionnel est le facteur d'échelle dans la direction horizontale (i.e., le rapport d'une affinité orthogonale appliquée à une boîte contenant une formule mathématique contenant \sim). 103132

noix de totos · May 2020

Bien vu, Brian !

Héhéhé · May 2020

Je trouve ça très laid personnellement, je préfère laisser le \sim de base.

Chaurien · May 2020

Je n'ai pas compris le S ou le SS au-dessus.

brian · May 2020

Le S et le SS sont issus du bout de code d'egreg que j'ai référencé et adapté, lequel montrait comment faire un \sim plus large que la normale avec quelque chose au-dessus, le tout se comportant que une relation binaire (classe \mathrel).