Pour introduire la suite de mon questionnement posons-en les bases :
Investir un montant M sur $\Delta$ années à un taux d’intérêt nominal annuel T avec une fréquence de capitalisation annuelle f c’est obtenir après $\Delta$ années une valeur cumulée V :
V = M [size=x-small]$\times$[/size] $( 1 + \frac{T}{f})^N,$
où N = $\Delta$ [size=x-small]$\times$[/size] f (est le nombre total de périodes de composition de l'intérêt [size=x-large]?[/size])
[size=large]Cette formule traduit-elle bien l'énoncé ?[/size]
Je dépose sur mon compte bancaire M $ par mois sur $\Delta$ ans à (T, f). Si pour chaque dépôt le début de gain d'intérêt a un différé d'une périodealors la valeur accumulée sera :
Non.
Tu as écrit : je dépose une même somme "par mois".
Et oui.
Pour que la formule soit correcte tu dois déposer une même somme à la fréquence $f$.
Ta formule traduit que les intérêts sont versés immédiatement après la période du différé. C'est la bonne hypothèse dans la pratique, mais il faut faire attention.
Donc si je comprends bien, d'après ce que tu me dis, je me suis trompé dans l'énoncé. Il s'agit de la formule qui traduit un gain d'intérêts immédiat ?
Par anticipation de tes réponses (je ne saisis pas parfaitement le pourquoi de ton OUI et de ton NON), je précise ce qui pourrait apporter une solution.
Si je note $M_0$ = M($t_0$) le premier des N versements j'ai donc sous cette notation mes N versements :
$M_0=\cdots=M_{N-1}$ tous égaux à M de la formule précédente
[size=x-large]S[/size]'il est retardé d'une période, soit le cas où $M_0$ déposé à $t_0$ ne prends de l'intérêt qu'à partir de $t_1$, $M_1$ qu'en $t_2$ etc.[size=large]alors[/size] la valeur cumulée $v_0$ de $M_0$ est :
$v_{N-1}$($t_{N-1}$) = $M_{N-1}$ le dernier montant versé ne prends pas d'intérêt.
Et la valeur cumulée "globale" [size=large]V[/size] dont j'ai donné la formule sur le post précédent coïncide avec la somme des $v_i$ à $t_{N-1}$ [size=large]non [/size][size=x-large]?[/size]
Bon je continue jusqu'à mon problème qui porte sur la rente en attendant de l'aide :-(
Le cours que je suis me pose une colle :
Quelle somme [size=large]M[/size] investie sur $\Delta$ = 25 ans à un taux d’intérêt nominal annuel T = 3,5 % me permettra de recevoir une rente de R = 1500 $ par mois sur 25 ans ?
Juste deux petites précisions. Il s'agit d'une rente avec un différé d'un mois = 1 période et la fréquence de capitalisation annuelle qui est la fréquence des versements est f = 12.
j'ai trouvé sur un autre cours cette formule (que je retranscrit avec les variables utilisées précédemment pour que tout le monde suive) qui réponds bien (après application numérique) à cette question :
[size=large]M = R $\frac{ 1 - {(1+ \frac{T}{f})}^{- N} }{\frac{T}{f}}$[/size]
[size=medium]Mais en développant celle-ci je ne comprends pas le mécanisme d'une rente. Une aide ?[/size]
On appelle rente, une suite de sommes (a) payables à des intervalles de temps égaux (n) et à un taux
périodique déterminé de i pour 1 unité monétaire.
II - VALEUR D'UNE RENTE
La valeur d'une rente , ou prix mathématique d'une rente, à une date donnée et à un taux d'estimation
donné, est la VALEUR ACTUELLE de la suite des termes à la daté donnée et au taux d'estimation fixé.
Il existe plusieurs catégories de rentes :
1) Les rentes à termes constants et les rentes à termes variables
2) Les rentes temporaires, les rentes viagères et les rentes perpétuelles
3) Les rentes immédiates, les rentes anticipées et les rentes différées
4) Les rentes publiques et les rentes privées
IL EXISTE DONC PLUSIEURS FORMULES DE CALCUL DES RENTES POUR CALCULER……LA VALEUR ACTUELLE…
Explication de ma réponse : Tu as écrit 'par mois' alors que la fréquence peut être quelconque, par exemple par semaine ou par trimestre. Donc ta formule ne correspond pas à l'énoncé que tu as donné. Il te suffit de corriger ton énoncé avec 'à la fréquence $f$' pour qu'elle soit juste.
Pour ton dernier message, la formule que tu cherches : $\displaystyle M = R {1-(1+{T \over f})^{-N}\over {T \over f}}$ est la formule la plus basique qui soit.
On reçoit une rente $R$ à la fréquence $f$ pendant $N$ années consitutée d'une somme $M$ placée au taux nominal annuel $T$ . Quelle est sa valeur actuelle ?
C'est bien sûr, $M$, la somme placée.
C'est aussi la valeur présente des sommes perçues au cours du temps : $\displaystyle \sum_{n=1}^N {R \over (1+{T \over f})^n}.$ Il s'agit d'une suite géométrique de raison $\displaystyle r = {1 \over 1+{T \over f}}$ et la somme est donc $\displaystyle \sum_{n=1}^N r^n = r {1-r^N \over 1-r}.$
Quand on place $M$ à la banque, la banque place cette somme à un taux d'intérêt $U>T$ et verse les rentes calculées au taux $T$ : la différence est la marge brute de la banque pour payer ses salariées, ses frais fixes, les ferraris des patrons et couvrir son risque (placer à $U$ sur $25$ ans n'est pas sans risque). En égalant $M$ à la somme des rentes, le risque pris par la banque est inclus dans le taux $T.$
Mon cours m'énonce qu'aux conditions de placement de M la rente R est perçue "nette" sans prélèvement d'intérêt donc il y a sûrement une erreur de formulation ou un oubli. Autrement dit, dans mon cours M vaut environ 300 000 et R = 1500 or si je percevais cette rente N = n $\times$ f = 25 $\times$ 12 = [size=medium]300 fois[/size] cela totaliserait une rente "globale" de 450 0000 $ d'où mon incompréhension sur le sens des :
[large][size=x-large]${r^n}$[/size][/large]
Sont-ils des intérêt déduits (puisqu'ils fractionnent chaque mois R) de la rente qui s'amenuise donc périodiquement ?
La valeur présente des 1500 dollars perçus dans 25 ans n’est pas 1500 dollars aujourd’hui, n’est-ce pas ?
Révise la valeur présente d’un cash-flow dans le futur.
Sache qu’un prix Nobel a été attribué pour avoir formaliser que les cash-flow futurs doivent être discountés et ainsi convertis en une valeur présente pour comparer des projets.
Je te laisse réfléchir.
Et je te donne une indication : un cash flow $FCF$ discounté au taux $t$ annuel perçu l’année $n$ a une valeur présente : $ {FCF\over (1+t)^n}.$ Cette valeur est bien sûr plus petite : c’est la somme que je dois placer à la banque au taux $t$ pendant $n$ années pour obtenir à l’échéance cette somme $FCF$ : somme initialement placée augmentée des intérêts composés.
Non à 27 ans je débute en maths financière et j'étudie pour devenir courtier immobilier au Québec. J'ai pas les fonds pour me payer des études au Canada donc je fais ce que je peux en autodidacte.
Donc pour l'instant je suis certes par ma naïveté un plaisantin (je le prends pas mal, t'inquiète ;-)) mais j'essaye de ne plus l'être.
Je pense que ton dernier post devrait m'aider car mon cours ci-joint n'est pas tout le temps clair (la formule discutée plus haut est traitée au chapitre 7 p166). Ce cours "parle" beaucoup (trop) sur des notions simple et zappe complètement les plus ardues. Bref j'adore la précision utile, et là c'est souvent du flan (en plus c'est truffé de fautes d'orthographe).
Merci pour ta patience Yves.
Bonne soirée (si tu es en France) ou journée. PS : Quel prix Nobel?
J’ai lu tout le manuel ;-). Il est bien fait et progresse pas à pas avec des exemples.
Révise le paragraphe 3 de la page 141. Il calcule exactement ce dont nous parlons : quelle somme déposer aujourd’hui à un taux donné avec intérêts composés pour obtenir une somme donnée dans 3 ans.
Réponses
On ne sait jamais. Essaie.
Investir un montant M sur $\Delta$ années à un taux d’intérêt nominal annuel T avec une fréquence de capitalisation annuelle f c’est obtenir après $\Delta$ années une valeur cumulée V :
Oui.
Je dépose sur mon compte bancaire M $ par mois sur $\Delta$ ans à (T, f). Si pour chaque dépôt le début de gain d'intérêt a un différé d'une période alors la valeur accumulée sera :
[size=x-large]
Non.
Tu as écrit : je dépose une même somme "par mois".
Et oui.
Pour que la formule soit correcte tu dois déposer une même somme à la fréquence $f$.
Ta formule traduit que les intérêts sont versés immédiatement après la période du différé. C'est la bonne hypothèse dans la pratique, mais il faut faire attention.
Donc si je comprends bien, d'après ce que tu me dis, je me suis trompé dans l'énoncé. Il s'agit de la formule qui traduit un gain d'intérêts immédiat ?
Par anticipation de tes réponses (je ne saisis pas parfaitement le pourquoi de ton OUI et de ton NON), je précise ce qui pourrait apporter une solution.
Si je note $M_0$ = M($t_0$) le premier des N versements j'ai donc sous cette notation mes N versements :
S'il est immédiat :
Le cours que je suis me pose une colle :
Quelle somme [size=large]M[/size] investie sur $\Delta$ = 25 ans à un taux d’intérêt nominal annuel T = 3,5 % me permettra de recevoir une rente de R = 1500 $ par mois sur 25 ans ?
Juste deux petites précisions. Il s'agit d'une rente avec un différé d'un mois = 1 période et la fréquence de capitalisation annuelle qui est la fréquence des versements est f = 12.
j'ai trouvé sur un autre cours cette formule (que je retranscrit avec les variables utilisées précédemment pour que tout le monde suive) qui réponds bien (après application numérique) à cette question :
[size=medium]Mais en développant celle-ci je ne comprends pas le mécanisme d'une rente. Une aide ?[/size]
LES RENTES
I - GENERALITES
On appelle rente, une suite de sommes (a) payables à des intervalles de temps égaux (n) et à un taux
périodique déterminé de i pour 1 unité monétaire.
II - VALEUR D'UNE RENTE
La valeur d'une rente , ou prix mathématique d'une rente, à une date donnée et à un taux d'estimation
donné, est la VALEUR ACTUELLE de la suite des termes à la daté donnée et au taux d'estimation fixé.
Il existe plusieurs catégories de rentes :
1) Les rentes à termes constants et les rentes à termes variables
2) Les rentes temporaires, les rentes viagères et les rentes perpétuelles
3) Les rentes immédiates, les rentes anticipées et les rentes différées
4) Les rentes publiques et les rentes privées
IL EXISTE DONC PLUSIEURS FORMULES DE CALCUL DES RENTES POUR CALCULER……LA VALEUR ACTUELLE…
Explication de ma réponse : Tu as écrit 'par mois' alors que la fréquence peut être quelconque, par exemple par semaine ou par trimestre. Donc ta formule ne correspond pas à l'énoncé que tu as donné. Il te suffit de corriger ton énoncé avec 'à la fréquence $f$' pour qu'elle soit juste.
Pour ton dernier message, la formule que tu cherches : $\displaystyle M = R {1-(1+{T \over f})^{-N}\over {T \over f}}$ est la formule la plus basique qui soit.
On reçoit une rente $R$ à la fréquence $f$ pendant $N$ années consitutée d'une somme $M$ placée au taux nominal annuel $T$ . Quelle est sa valeur actuelle ?
C'est bien sûr, $M$, la somme placée.
C'est aussi la valeur présente des sommes perçues au cours du temps : $\displaystyle \sum_{n=1}^N {R \over (1+{T \over f})^n}.$ Il s'agit d'une suite géométrique de raison $\displaystyle r = {1 \over 1+{T \over f}}$ et la somme est donc $\displaystyle \sum_{n=1}^N r^n = r {1-r^N \over 1-r}.$
Quand on place $M$ à la banque, la banque place cette somme à un taux d'intérêt $U>T$ et verse les rentes calculées au taux $T$ : la différence est la marge brute de la banque pour payer ses salariées, ses frais fixes, les ferraris des patrons et couvrir son risque (placer à $U$ sur $25$ ans n'est pas sans risque). En égalant $M$ à la somme des rentes, le risque pris par la banque est inclus dans le taux $T.$
Sont-ils des intérêt déduits (puisqu'ils fractionnent chaque mois R) de la rente qui s'amenuise donc périodiquement ?
Tu plaisantes ?
La valeur présente des 1500 dollars perçus dans 25 ans n’est pas 1500 dollars aujourd’hui, n’est-ce pas ?
Révise la valeur présente d’un cash-flow dans le futur.
Sache qu’un prix Nobel a été attribué pour avoir formaliser que les cash-flow futurs doivent être discountés et ainsi convertis en une valeur présente pour comparer des projets.
Je te laisse réfléchir.
Et je te donne une indication : un cash flow $FCF$ discounté au taux $t$ annuel perçu l’année $n$ a une valeur présente : $ {FCF\over (1+t)^n}.$ Cette valeur est bien sûr plus petite : c’est la somme que je dois placer à la banque au taux $t$ pendant $n$ années pour obtenir à l’échéance cette somme $FCF$ : somme initialement placée augmentée des intérêts composés.
Je pense que ton dernier post devrait m'aider car mon cours ci-joint n'est pas tout le temps clair (la formule discutée plus haut est traitée au chapitre 7 p166). Ce cours "parle" beaucoup (trop) sur des notions simple et zappe complètement les plus ardues. Bref j'adore la précision utile, et là c'est souvent du flan (en plus c'est truffé de fautes d'orthographe).
Merci pour ta patience Yves.
Bonne soirée (si tu es en France) ou journée.
PS : Quel prix Nobel?
J’ai lu tout le manuel ;-). Il est bien fait et progresse pas à pas avec des exemples.
Révise le paragraphe 3 de la page 141. Il calcule exactement ce dont nous parlons : quelle somme déposer aujourd’hui à un taux donné avec intérêts composés pour obtenir une somme donnée dans 3 ans.
Bon travail.