Sur la sesquilinéarité : dans l'extrait de Bourbaki attaché, on trouve la définition de sesquilinéarité à droite. Faut-il s'étonner alors que le demi soit à droite ? :-D
Gérard, Calli, "lorsque" est une conjonction de TEMPS, qui signifie PRECISEMENT "au moment où", "quand".
Ca n'a donc aucun sens de dire "3 = 3" lorsque "1 = 1". On peut à la rigueur admettre "un nombre est pair lorsque son carré est pair" en considérant que l'on examine plusieurs nombres et leurs carrés, à des moments différents.
Par contre, les énoncés "3 = 3 si 1 = 1" et "10 = 0 si 1 = 0" sont tout à fait corrects (et vrais), puisque "si" est une conjonction qui signifie "au cas où".
D’accord GG, mais c’est la traduction mathématique du « lorsque » qui se fait naturellement (pour moi) en « si ».
Ou bien même le « quand » ou encore « dans le cas où » ou autre « dès que ».
C'est un peu moins vrai en analyse où les anneaux non unitaires sont assez courants (typiquement $L^2(\R)$ ou $\mathcal C^0_{\to 0}(\R)$ l'anneau des fonctions continues nulles à l'infini) mais comme on utilise finalement assez peu ces structures en tant que telles...
Je n'avais pas tilté sur le coup, mais $L^2(\R)$ n'est pas stable par multiplication. Par exemple, $\frac1{\sqrt[4]{x}} \mathbf{1}_{]0,1]}(x)$ est $L^2$ mais pas son carré $\frac1{\sqrt{x}} \mathbf{1}_{]0,1]}(x)$.
On peut noter d'autres pseudo-anneaux: l'espace de Schwartz (fonction à décroissance rapide), $L^1(\R)$ (avec la convolution pour la deuxième loi), etc.
Plutôt que $L^2$ on peut penser à $(L^1(\R), +,*)$ où $*$ représente la convolution. D'ailleurs pendant que j'y pense, les algèbres sont fréquemment non unitaires non ? En tout cas j'ai l'impression qu'on n'exclue pas en général le cas des algèbres non unitaires, et pourtant à la base d'une algèbre il y a un anneau (ou un EV, c'est vous qui voyez).
Ce sont les programmes de 1984 (en Spé) qui ont fait passer la semi-linéarité à gauche, selon l'usage des physiciens me semble-t-il. Pour ma part, j'ai égaleemnt apprécié de pouvoir écrire $^{t}\overline{P}AP$ et, de ce fait, noter cela $P^*AP$.
Pour donner de bonnes habitudes aux élèves, je me suis habitué à écrire $\overline{z}z$ pour le carré du module... En revanche, l'identité de polarisation était plus <<jolie>> avec la semi-linéarité à droite -- ensuite, j'ai dû écrire ${\rm i}\,q({\rm i}x+y)$ car, pour beaucoup, ${\rm i}\,q(x-{\rm i}y)$ ne passait pas (bizarre, non ?).
Réponses
Ca n'a donc aucun sens de dire "3 = 3" lorsque "1 = 1". On peut à la rigueur admettre "un nombre est pair lorsque son carré est pair" en considérant que l'on examine plusieurs nombres et leurs carrés, à des moments différents.
Par contre, les énoncés "3 = 3 si 1 = 1" et "10 = 0 si 1 = 0" sont tout à fait corrects (et vrais), puisque "si" est une conjonction qui signifie "au cas où".
Ou bien même le « quand » ou encore « dans le cas où » ou autre « dès que ».
Je n'avais pas tilté sur le coup, mais $L^2(\R)$ n'est pas stable par multiplication. Par exemple, $\frac1{\sqrt[4]{x}} \mathbf{1}_{]0,1]}(x)$ est $L^2$ mais pas son carré $\frac1{\sqrt{x}} \mathbf{1}_{]0,1]}(x)$.
On peut noter d'autres pseudo-anneaux: l'espace de Schwartz (fonction à décroissance rapide), $L^1(\R)$ (avec la convolution pour la deuxième loi), etc.
Pour donner de bonnes habitudes aux élèves, je me suis habitué à écrire $\overline{z}z$ pour le carré du module... En revanche, l'identité de polarisation était plus <<jolie>> avec la semi-linéarité à droite -- ensuite, j'ai dû écrire ${\rm i}\,q({\rm i}x+y)$ car, pour beaucoup, ${\rm i}\,q(x-{\rm i}y)$ ne passait pas (bizarre, non ?).
GBZM : Tu as raison. D'ailleurs je crois (sans être complètement sûr) que le produit de convolution n'est pas associatif pour les distributions.