Notions avec définition sans unanimité

Je suppose que "module unitaire" veut dire que $1m=m$ pour tout $m$ du module ?

Je pense que cet extrait est un vestige du passé. Il y a maintenant un consensus quasi unanime pour dire qu'un anneau a un élément neutre pour sa multiplication (et puisque cet élément neutre fait partie de la structure, on demande bien sûr qu'il soit préservé par homomorphisme d'anneaux !).
En anglais les anciens "anneaux sans 1" sont quelquefois appelés "rng" (ring without identity).

Comment se prononce ce « rng » (avec les initiales ? r.n.g ?) dont la construction m’enchante ?
Je l’ai même comprise, moi et mon franGLÉ pourri de chez pourri.

Oui, vestige du passé disais-je.
Mais as-tu beaucoup de références du 21e siècle où on appelle "anneaux" des pseudo-anneaux (ou rngs) ?

Salut curiosity.

Les exemples qui me viennent à l'instant.

• Les anneaux principaux sont-ils intègres par définition ?
• Une partie multiplicative $S$ d'un anneau vérifie-t-elle $0\notin S$ ?
• Est-ce que les corps sont des anneaux de Dedekind ?

Dans l'ordre, j'aurais dit oui, non et oui. On me l'a enseigné comme ça, en tout cas.

Le petit anneau des nombres pairs a-t-il encore droit de cité en maths ou est-ce qu'on l'élimine pour obsolescence terminologique ? :-D

J'ai souvent entendu "pseudo-anneau" pour qualifier un anneau sans élément unité, un anneau étant avec unité, dans la tradition bourbakiste qui a raison en l'espèce car un pseudo-anneau n'est jamais qu'un idéal bilatère d'un anneau, avec quelques trucs en plus non anodins qu'on détaille ci-dessous.

$\newcommand{\ca}{\mathcal A}$
$\newcommand{\cp}{\mathcal P}$
$\newcommand{\uo}[1]{{#1}^u}$
$\newcommand{\Hom}[3]{\text{Hom}_{#1} \left ( #2,#3\right )}$
$\newcommand{\i}[1]{\mathbf i _{#1}}$
$\newcommand{\ucan}[1]{\overline {#1}}$
$\newcommand{\um}[1]{{#1}^u}$
Ci-dessous $\ca$ désigne la catégorie des anneaux et $\cp$ celle des pseudo-anneaux.

1°) Soit $R$ dans $\cp$. On pose $\uo R:=\Z \times R$. Pour tous $(p,x)$, $(q,y) \in \uo R$ on pose $(p,x)+(q,y):=(p+q,x+y)$ et on pose $(p,x) \cdot (q,y):= (pq, py+qx+xy)$. Il est alors routinier de vérifier que $\uo R$ est un anneau unitaire. Si on pose $\i R (x):=(0,x)$, on voit que $\i R$ est un morphisme de pseudo-anneaux entre $R$ et $\uo R$.

2°) D'autre part, soit $S$ un second anneau et $\varphi:R \to S$ un morphisme de pseudo-anneaux. Alors il existe un unique morphisme d'anneaux $\ucan{\varphi}$ entre $\uo R$ et $S$, tel que $\ucan{\varphi} \circ \i R = \varphi$. Ce morphisme est donné par $\ucan{\varphi}(n,x):= n\cdot 1_S + \varphi(x)$ pour tous $n\in \Z$ et $x\in R$ (calculs d'une ligne).

3°) On en déduit tout de suite que le foncteur d'oubli $B\mapsto B$ de $\cp$ dans $\ca$ admet un adjoint à gauche. Pour cette raison, la manière de rajouter une unité à un pseudo-anneau est essentiellement unique. Cet adjoint n'est rien d'autre que $(R\mapsto \uo R,f\mapsto \um f)$ où, si $\varphi \in \Hom {\cp} A B$, $\um \varphi$ désigne $\ucan{\i B \circ \varphi}$. Noter que l'on a pour tout $(n,x)\in \uo A$, $\left ( \ucan{\i B \circ f} \right )(n,x)=n\cdot 1_{\uo B} + \i B \circ f (x) = (n,0) + \left ( 0,f(x)\right ) = \left (n,f(x) \right )$ ce qui donne une expression simple pour $\um{\varphi}$.

4°) Soit $(M,+)$ un groupe abélien. Pour tout pseudo-anneau $A$, une structure de $A$-module n'est rien d'autre qu'un morphisme $\rho_M$ de pseudo anneau entre $A$ et l'anneau $End(M)$ des endomorphismes de groupe abélien de $M$.
On en déduit aussitôt une structure de $\uo A$-module sur $M$ en prenant $\ucan {\rho_M} : \uo A \to End(M)$.
Si $N$ est un second $A$-module, un morphisme de $A$-modules est un morphisme $g$ de groupes abéliens entre $M$ et $N$ tel que pour tout $a\in A$, $\rho_N (a) \circ f = f \circ \rho_M (a)$. On voit par un calcul que cela se produit si et seulement si pour tous $b \in \uo A$, $\ucan{\rho_N (b)} \circ f = f \circ \ucan{\rho_M (b)}$, autrement dit si $f$ est un morphisme de $A$-modules au sens usuel entre $M$ et $N$. Ainsi la catégorie des modules sur le pseudo-anneau $A$ et la catégorie des modules sur l'anneau $\uo A$ sont une seule et même chose. D'autre part compte tenu du paragraphe 2°), toute structure de $A$-module sur un groupe abélien peut être obtenue à l'aide d'une unique structure de module sur $\uo A$.

C’est même respectueux « idéal » par rapport à « sous-machin ».

Au début de mon enseignement en Spé ,c'était semi-linéarité à droite dans le programme . Une année ,je ne sais plus exactement quand , c'est devenu semi-linéarité à gauche .On s'est adaptés et j'ai préferé la nouvelle définition très vite .

Pour les coefficients de Fourier, à part la gueguerre entre coefficients réels et coefficients complexes (les premiers n'intéressant que les profs de prépa je pense), il n'y a pas d’ambiguïté de définition. Si $f$ est $T$-périodique, alors si on veut une décomposition de la forme $$f(x) \sim \sum_{n \in \mathbb Z} c_n(f) e^{in x},$$ la seule bonne définition est $$c_n(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i \frac{2\pi n x}{T}} \,\mathrm{d}x.$$

Travaillant en théorie analytique des nombres, ça va tellement de soi pour moi qu'une indexation sur $p$ désigne une indexation sur les nombres premiers. :-D Mais je comprends que ça puisse choquer lorsqu'on ne fréquente pas ce milieu.

Exact. Pour la formule sommatoire de Poisson aussi, ce qui est assez fatiguant.

curiosity a écrit:

Vous n'avez jamais vu des cours où l'on omettait la période et où l'on disait de la rajouter devant les coefficients pour obtenir la série ?

Pas compris.

curiosity a écrit:

Ou bien où l'on prend 1/2 pour le premier terme a0 pour "faire comme les autres", et qu'ensuite on s'en débarrasse en multipliant par 2 dans la somme ?

Même ressort que la distinction entre coefficients réels et complexes, tout au plus une manie de prof de prépa.

Voici trois définitions de la transformée de Fourier d'une fonction $f \in L^1(\mathbb R)$ :

$$x \mapsto \int_{\mathbb R} f(t) e^{-ixt} \,\mathrm{d}t,$$ $$x \mapsto \int_{\mathbb R} f(t) e^{-2i\pi x t} \,\mathrm{d}t$$ et $$x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} f(t) e^{-i x t} \,\mathrm{d}t.$$

La première est telle que la transformée de Fourier est une isométrie de $L^2(\mathbb R)$ dans lui-même (théorème de Plancherel).

La deuxième est telle que la formule sommatoire de Poisson prend la forme facile à retenir $$\sum_{n \in \mathbb Z} f(n) = \sum_{n \in \mathbb Z} \hat{f}(n).$$

La troisième a l'avantage que la formule d'inversion ne fait pas intervenir de constante.

Bonjour,
Poirot : C'est plutôt la troisième définition de la transformée de Fourier qui donne une isométrie de $L^2$. Bref, c'est compliqué... ^^

Pour moi, théorème de Bolzano-Weierstrass est "toute suite réelle ou complexe bornée possède une valeur d'adhérence". Corollaire : les compacts de $\Bbb R$ sont exactement les fermés bornés. Inverser le corollaire et le théorème n'est pas très grave, ces énoncés étant équivalents.

Je ne suis pas sûr pas de ce que désigne le théorème de Borel-Lebesgue. Peut-être "de tout recouvrement de $[0,1]$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini".

J’ai encore en tête le théorème donné à Jussieu, en DEUG MIAS dans un des groupes :
« De toutes suites bornées, on peut extraire une sous-suite convergente ».

Remarque : on parlait de suites réelles, là.

Je m’aperçois le manque de quantificateur et le « on peut » qui n’est pas la meilleure chose à utiliser.
Par contre, quel était l’axiome phare utilisé dans la preuve ? je ne m’en souviens pas...

Une fois j’ai composé en croyant que « norme multiplicative » voulait dire $||A\times B||=||A||.||B||$ et évidemment ça ne marchait pas très bien... mais là c’était lié à mon ignorance.

Je lis parfois « sous-multiplicative » au lieu de « multiplicative » qui m’apparaît plus ”intuitif”.

Je ne vois pas ce que l'on peut trouver à redire à l'énoncé :
« De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente ».

Chaurien :
Il existe beaucoup d’énoncés avec « on peut » qui sont très malheureux.
Ce « on peut » cache un quantificateur « il existe » dans le langage mathématique.
Le « on peut » se mélange au « on peut » du langage courant. C’est un « mélange des langages » et cela peut créer des confusions.
Je ne déposerais pas cette formulation dans un cours. Je formulerais plutôt « quelle que soit la suite ... il existe une sous-suite... ».
Par contre, à l’oral ou en remarque, ce n’est pas gênant de mon point de vue.

Un exemple de 6e :
J’ai déjà vu ça dans un cours : « Un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire en écriture décimale. »
Je ne dis pas que c’est le meilleur exemple...

Pour moi l'explication pour les anneaux et les corps est très simple: c'est parce que c'est la situation la plus courante donc on ne veut pas s'embêter avec une terminologie qui inclut des cas généraux qu'on passe sa vie à exclure...

Pour les corps c'est vraiment clair. Dans l'immense majorité des mathématiques, on utilise des corps commutatifs, en analyse on utilise $\R$ et $\C$, en théorie des nombres on va également utiliser les corps finis $\mathbf F_q$ et $\Q$, dans beaucoup de branches de l'algèbre on va également utiliser ces corps ainsi que plein de corps $\K(x)$ et compagnie (avec $\K$ corps commutatif bien sûr)... Bref pour tomber sur un corps non commutatif, il faut vraiment le vouloir, ce sont vraiment des cas particuliers par rapport à l'immense majorité des cas où les corps sont commutatifs, c'est logique que la terminologie le reflète.

Pour les anneaux, c'est la même chose, la plupart des anneaux rencontrés en algèbre sont des anneaux unitaires, les anneaux non unitaires sont plutôt l'exception que la règle. C'est un peu moins vrai en analyse où les anneaux non unitaires sont assez courants (typiquement n$\mathcal C^0_{\to 0}(\R)$ l'anneau des fonctions continues nulles à l'infini, l'espace de Schwartz, $L^1(\R)$ avec la convolution...) mais comme on utilise finalement assez peu ces structures en tant que telles...

Je précise avant de lancer les polémiques, je ne suis pas en train de dire que les corps non commutatifs ou les anneaux non unitaires sont inutiles ou pas importants, je dis juste qu'ils sont minoritaires par rapport au reste dans beaucoup de domaine des maths, c'est normal que la terminologie finisse par représenter cet état de fait.

Curiosity,

"Tu n'imagines pas le nombre de candidats qui ont cru acheter un pain au chocolat et ont acheté une chocolatine dans les concours".
C'est bien pour cela que les concours dont le programme est peu détaillé donnent des indications de signification des notations au début. Tu n'imagines pas le nombre de candidats qui ont cru gagner du temps en ne les lisant pas ...

Et les maths, ce n'est pas les concours. D'ailleurs, dans la préparation des concours, apprendre qu'il y a des définitions différentes, des notations diverses, ... fait partie de la préparation. Je suis souvent un peu effrayé du peu de connaissances de l'histoire de leur discipline des candidats à des concours.

Cordialement.

Lorsque = Si, en effet.