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Coefficient binomial

Bonjour,

Je n'arrive pas à simplifier $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}$ pour $i \in [|2,p|]$ et $j \in [|1,p|]$

J'ai écrit $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}= \dfrac{(n+i-1)!}{(n+i-j)! (j-1)!} - \dfrac{(n+i-2)!}{(n+i-j-1)! (j-1)!}$

Et après je sèche.

Réponses

  • Bonjour,

    $C_a^b-C_a^{b-1}$ ne se simplifie pas. Avec une addition au lieu d’une différence, on peut simplifier.

    Pareil pour $C_a^b-C_{a-1}^b$.
  • Bonsoir YvesM,

    Je me demande si tu n'as pas inversé les notations : $\binom nk=C^k_n$.
  • Voici l'énoncé101818
    1.png 496.5K
  • Cours de quatrième : Somme ou différence de fractions = réduction au même dénominateur.
  • Je ne trouve pas de simplification en mettant au même dénominateur, j'ai une soustraction de factorielles.
  • On peut aussi utiliser la formule de Pascal : $${n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}$$
  • Tu sais que les factorielles sont des produits, et donc que tu peux en réalité les factoriser par leurs facteurs communs ?!
    Ne dis pas que tu ne sais pas quoi écrire en partant de ça, je ne te croirais pas !

    $$\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}=\frac{(n+i-1)!-(n+i-j) \cdot (n+i-2)!}{(j-1)!(n+i-j)!}$$

    @jandri : Oui, mais soit on la connait parce qu'on sait faire le calcul (auquel cas, on peut faire le calcul), soit on sait la démontrer en raisonnant de façon combinatoire (ce qui est plus difficile, à mon avis). Et même dans le dernier des cas, on doit pouvoir la retrouver par le calcul.
  • Bonsoir,
    OShine a écrit:
    Je ne trouve pas de simplification en mettant au même dénominateur, j'ai une soustraction de factorielles.

    Il y a des factorielles divisibles par d'autres, donc ça se factorise.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bien vu Jandri !

    Polka si je sais, je ne suis pas nul en calcul, je ne peux pas être mauvais partout (:P)

    $(n+i-1)!-(n+i-j)(n+i-2)! = (n+i-2)! (j-1)$

    Or $\dfrac{j-1}{(j-1)!} = \dfrac{1}{(j-2)!}$ ce qui donne le résultat.
  • Qu'est-ce qui t'empêchait décrire ça depuis ton tout premier post ?
  • Je ne pensais pas que ça se simplifierait.
  • Ben, fallait essayer au lieu de croire que ça ne marche pas. Si on te pose une question dans un exercice, c'est rare que la réponse soit "on ne peut pas répondre à cette question".
  • J'ai encore un souci de compréhension je ne comprends pas pourquoi $\Delta_{n,1}=1$ je n'arrive pas à visualiser $\Delta_{n1}$101834
  • Au fait, petit exercice annexe: sais-tu retrouver la relation de Pascal (cf messages plus haut) sans calculs, mais avec un raisonnement combinatoire ?

    Quant à ta question (j'imagine que tu as fait des combinaisons linéaires des lignes $L_{i} \leftarrow L_{i}-L_{1}$ et utilisé la formule de Pascal), par convention (enfin, je le comprends comme la façon de choisir zéro éléments parmi n) on a $\binom{n}{0}=1$. Ce qui est d'ailleurs compatible avec la formule des factorielles.
  • On te donne la forme de $\Delta_{n,p}$, écris ce déterminant quand $p=1$.
  • Je ne vois pas qui est le déterminant quand $p=1$ :-(

    Polka j'ai déjà lu la preuve dans mon ancien livre mais j'ai du mal avec la combinatoire. Je vais retravailler ça.
  • Pas si dur à écrire : $\Delta_{n,1}=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}$. Reste à calculer.
  • Math Coss vous avez de l'humour :-D

    Merci.
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