Coefficient binomial
Bonjour,
Je n'arrive pas à simplifier $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}$ pour $i \in [|2,p|]$ et $j \in [|1,p|]$
J'ai écrit $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}= \dfrac{(n+i-1)!}{(n+i-j)! (j-1)!} - \dfrac{(n+i-2)!}{(n+i-j-1)! (j-1)!}$
Et après je sèche.
Je n'arrive pas à simplifier $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}$ pour $i \in [|2,p|]$ et $j \in [|1,p|]$
J'ai écrit $\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}= \dfrac{(n+i-1)!}{(n+i-j)! (j-1)!} - \dfrac{(n+i-2)!}{(n+i-j-1)! (j-1)!}$
Et après je sèche.
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Réponses
$C_a^b-C_a^{b-1}$ ne se simplifie pas. Avec une addition au lieu d’une différence, on peut simplifier.
Pareil pour $C_a^b-C_{a-1}^b$.
Je me demande si tu n'as pas inversé les notations : $\binom nk=C^k_n$.
Ne dis pas que tu ne sais pas quoi écrire en partant de ça, je ne te croirais pas !
$$\binom{n+i-1}{j-1}-\binom{n+i-2}{j-1}=\frac{(n+i-1)!-(n+i-j) \cdot (n+i-2)!}{(j-1)!(n+i-j)!}$$
@jandri : Oui, mais soit on la connait parce qu'on sait faire le calcul (auquel cas, on peut faire le calcul), soit on sait la démontrer en raisonnant de façon combinatoire (ce qui est plus difficile, à mon avis). Et même dans le dernier des cas, on doit pouvoir la retrouver par le calcul.
Il y a des factorielles divisibles par d'autres, donc ça se factorise.
Cordialement,
Rescassol
Polka si je sais, je ne suis pas nul en calcul, je ne peux pas être mauvais partout (:P)
$(n+i-1)!-(n+i-j)(n+i-2)! = (n+i-2)! (j-1)$
Or $\dfrac{j-1}{(j-1)!} = \dfrac{1}{(j-2)!}$ ce qui donne le résultat.
Quant à ta question (j'imagine que tu as fait des combinaisons linéaires des lignes $L_{i} \leftarrow L_{i}-L_{1}$ et utilisé la formule de Pascal), par convention (enfin, je le comprends comme la façon de choisir zéro éléments parmi n) on a $\binom{n}{0}=1$. Ce qui est d'ailleurs compatible avec la formule des factorielles.
Polka j'ai déjà lu la preuve dans mon ancien livre mais j'ai du mal avec la combinatoire. Je vais retravailler ça.
Merci.