Décomposition en nombres premiers
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)
J'ai des doutes, et je me demande est-ce-que c'est Srinivasa Ramanujan qui fait la décomposition en nombres premiers ?
Merci d'avance, amicalement.
J'ai des doutes, et je me demande est-ce-que c'est Srinivasa Ramanujan qui fait la décomposition en nombres premiers ?
Merci d'avance, amicalement.
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Réponses
Oui, même le PGCD existe dans Éléments d’Euclide, cependant dans le film L'Homme qui défiait l'infini je crois avoir vu que toute la première publication de Ramanujan, c'était ça, sauf erreur de ma part.
Avant de contacter Hardy, Ramanujan travaillait sur des fascicules de résultats de mathématiques de niveau universitaire. Donc il avait appris la notion de nombres premiers bien avant. Par contre, ses ouvrages ne comportant aucune démonstration, il ne savait pas prouver de façon conventionnelle.
Cordialement.
Comme Pablo en fait, c'est pour ça que personne ne veut reconnaître son génie ! :-D
J'ai lu un livre sur le sujet récemment. Ma réponse sera peut-être approximative. Ramanujan a redécouvert des résultats d'Euler, Gauss et Riemann.
Hardy et Littlewood se sont enthousiasmés à la lecture de sa lettre parce que Ramanujan y donnait la valeur de zêta(-1) sous la forme suivante :
$1 +2 +3 +...+ n+ ... = - \frac{1}{12}$
En outre, il affirmait avoir trouvé un moyen de calculer les nombres premiers.
Littlewood a ensuite prouvé que c'était faux. Il avait néanmoins une "vague théorie" sur son erreur. Ramanujan imaginait peut-être qu'il n'y avait pas de zéros non-triviaux de la fonction zêta de Riemann.
Comme Ramanujan était très doué, il est allé rejoindre Hardy et Littlewood à Cambridge. Il a alimenté leurs travaux avec de nombreux résultats et idées. Il produisait beaucoup, souvent des résultats déjà connus des mathématiciens, mais n'était pas capable de faire une démonstration.
Il a laissé des archives riches mais énigmatiques. En particulier, il semble qu'il avait une façon personnelle de calculer les nombres premiers, avec relativement peu d'erreurs, mais personne ne sait comment.
Selon Ramanujan, toute son inspiration lui venait en rêve d'une déesse hindoue.
peux-tu donner le titre du livre que tu cites ? J'aimerais bien éviter de l'acheter, vu qu'il raconte des bêtises.
Cordialement.
La Symphonie des nombres premiers, de Marcus du Sautoy
Il est professeur de maths à l'université d'Oxford et a été présentateur télé à la BBC. (:P)
" parce que Ramanujan y donnait la valeur de zêta(-1) sous la forme ..." ??? Hardy a trouvé dans sa lettre des résultats bien plus intéressants et profonds, celui-ci ne l'est pas.
" il affirmait avoir trouvé un moyen de calculer les nombres premiers. " ???
Voici la propriété dont parle Hardy (notation à plat des fractions continues) :
Si $\displaystyle u=\frac{x}{1+}\frac{x^5}{1+}\frac{x^{10}}{1+}\frac{x^{15}}{1+...},\ v=\frac{x^{\frac 1 5}}{1+}\frac{x}{1+}\frac{x^{2}}{1+}\frac{x^{3}}{1+...}$ alors $\displaystyle v^5=u\frac{1-2u+4u^2-3u^3+u^4}{1+3u+4u^2+2u^3+u^4}$
Je ne garantis pas l'exposant $\frac 1 5$, mon livre a une typographie qui pourrait me tromper.
Cordialement
(*) Hardy, "Ramanujan, un mathématicien indien" in "Hardy, l'apologie d'un mathématicien" chez Belin
NB : Marc Du Sautoy me déçoit ! Surtout que dans ce cas, on a un texte de Hardy lui-même, qui ne dit pas du tout ça.
- "Hardy et Littlewood se sont enthousiasmés à la lecture de sa lettre " C'est le cas de Hardy, ce qui se voit dans la citation que tu donnes. Hardy avait également fait lire le contenu des lettres de Ramanujan à Littlewood, qui partageait son émerveillement (mais aussi son incompréhension sur le fait qu'on trouvait des formules fausses ou déjà connues des spécialistes).
- " parce que Ramanujan y donnait la valeur de zêta(-1) sous la forme ..." Effectivement le "parce que" est mal choisi, mais il est vrai que Ramanujan avait développé une théorie de sommation des séries divergentes, qui entre autres donnait la célèbre formule $\zeta(-1) = -\frac{1}{12}$. Bon bien sûr quand on le lit on se rend compte qu'il écrit une égalité en dur $1 + 2 + 3 + \dots = -\frac{1}{12}$, ce qui est bien sûr fautif, et Hardy le lui fait remarquer dans sa réponse.
- " il affirmait avoir trouvé un moyen de calculer les nombres premiers. " C'est mal dit mais Ramanujan prétendait avoir obtenu une formule close pour la fonction $\pi$ de comptage des nombres premiers. Littlewood trouva une erreur, et ça a effectivement à voir avec le fait que Ramanujan faisait comme si $\zeta$ n'admettait pas de zéros non triviaux.
Je vous trouve vraiment durs tous les deux ! Pour la correspondance Hardy-Ramanujan et d'autres choses, il y a Ramanujan: Letters and Commentary de Bruce Berndt et Robert Rankin publié par l'AMS où tous les points ci-dessus sont abordés.
Sortir la "sommation" comme un résultat important alors que ce n'est pas ça qui a alerté Hardy est à la fois une erreur historique et une erreur mathématique. Ça fait beaucoup !
Cordialement.
Je crois que l'auteur a pris cet exemple parce qu'il est bien pratique. Il écrit un livre de vulgarisation grand public. Il a donc besoin de simplifier et d'utiliser des images. En revanche, il est parfois difficile de comprendre de quoi du Sautoy parle exactement. En outre, il brouille la chronologie en faisant des aller-retours dans le temps.
Je dois rendre justice à du Sautoy en citant son livre. Les passages ci-dessous concernent la formule de Ramanujan pour la fonction de comptage des nombres premiers. C'était avant que Ramanujan n'arrive en Angleterre. (ici, je crois que la chronologie est respectée.)
Donc c'était ta présentation, pas celle de Du Sautoy. Même s'il a parfois des présentations un peu romanesques, qui malheureusement cachent un peu trop la difficulté conceptuelle et technique des questions.
Cordialement.