Plus "petit" sous-graphe connexe

Bonjour à tous. J'espère que vous arrivez tous à garder l'esprit sain pendant ce confinement.
Voici le problème que je rencontre.

J'ai un graphe $G$ connexe non-orienté mais avec une fonction de poids associée (j'ai oublié la terminologie mathématique usuelle). J'entends par là que ça me coûte $w(i,j)$ de passer du sommet $i$ au sommet $j$, ou du sommet $j$ au sommet $i$. On va supposer qu'il n'y a pas de boucle.

Ma question est la suivante : existe-t-il un algorithme permettant de trouver le "plus" petit sous-graphe connexe. J'entends par là trouver un sous-graphe $S$ tel que pour toute paire de sommets $(v_1, v_2)$ de $G$, il existe un chemin de $S$ reliant $v_1$ à $v_2$. Et ce graphe $S$ est optimal au sens du critère : $$

\min_ {S \ \mathrm{graphe} } \sum_{(u,v) \in S} w(u,v) \\
S \ \mathrm{graphe}

$$ En fait parmi les algos sur graphes que je connais :
- Floyd-Warshall et Bellman,
- Max Flot, Min Cut,
aucun ne permet de traiter ce problème.
Merci d'avance.