Formule close

Bonjour

On se donne un ensemble $X$ de cardinal $b$ et $c$ parties $X_1,\dots,\, X_c$ de cardinal $N$ deux à deux disjointes.
On cherche le nombre de parties $A$ de $X$ de cardinal $a$ telles que pour tout $j$, $X_j\cap A\neq \emptyset$.

En appelant $p_j$ le cardinal de $X_j\cap A$ et $q$ celui de $A\setminus (X_1 \cup \dots \cup X_c)$ je trouve que le nombre cherché est $$
\sum \binom{N}{p_1}\dots \binom{N}{p_c}\binom{b-Nc}{q},

$$ où la somme porte sur tous les entiers naturels non nuls $p_1,\dots,\, p_c$ et $q$ vérifiant $p_1+\dots+p_c+q=a$ ($q$ peut être nul).

Je me demande si cette somme peut être calculée. Si les $p_j$ pouvaient être nuls, on tombe sur la formule de Vandermonde donc on obtient $\binom{b}{a}$.
Merci d'avance,
Michal