Combinaisons avec répétitions modifiées

J'ai déjà indiqué ce résultat :

Le nombre de solutions entières de l'équation $x_1 + \dotsb + x_p = n$ telles que $1 \leqslant x_1, \dotsc,x_p \leqslant k$ est
$$\sum_{h=0}^{\left \lfloor (n-p)/k \right \rfloor} (-1)^h {p \choose h} {n - hk - 1 \choose p-1}.$$

C'(est une simple application du principe d'inclusion-exclusion (ou formule du crible de Poincaré) où $A_i$ est l'ensemble des solutions avec $x_i>k$, pour compter le nombre de solutions qui ne sont pas dans $\bigcup_{i=1}^p A_i$.

Bon, ça c'est trivial en réécrivant l'équation sous la forme
$$\sum_{i=1}^p (x_i-c_i)=n-\sum_{i=1}^pc_i\;$$
et je ne comprends pas en quoi c'est plus général que le premier résultat que tu as cité.

Bonsoir,
Pour ceux qui apprécient les excursions dans Z[X], il y a, outre l'itinéraire combinatoire indiqué par GaBuZoMeu, celui-ci, plus algébrique:

$ \:\:\displaystyle a_n : =\text{Card} \{ (x_1,x_2, \dots x_p) \in \![\![1;k]\!] ^p \mid \sum_{i=1} ^p x_i =n \} \: $ est le coefficient de $X^n$ du polynôme $\:\:P(X) = (X+X^2+\dots X^k) ^p .$
$\displaystyle P(X) = X^p(1-X^k)^p (1-X)^{-p}= X^p \sum _{i\geqslant 0} (-1)^{i} \binom pi X^{ki} \sum_{j\geqslant 0}\binom {p+j-1}{p-1} X^j =\sum _{n \geqslant 0}\left (\sum _{0\leqslant i\leqslant (n-p)/k} (-1)^{i} \binom pi \binom {n-ki-1}{p-1}\right) X^n.$
$$ a_n = \sum _{0\leqslant i\leqslant (n-p)/k} (-1)^{i} \binom pi \binom {n-ki-1}{p-1}.$$