Deux ensembles et des couples
Bonjour à tous,
j'ai deux ensembles finis $A$ et $B$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$ avec $p>n$ et $p-n=2k$.
Je cherche à calculer le nombre de couples $(x;y)$ tels qu'un élément de $A$ est nécessairement couplé à un élément de $B$ (sachant que l'ordre ne compte pas...)
Mon raisonnement est le suivant :
1) Je choisis les éléments de $B$ qui vont être couplés aux éléments de $A$. Il y a $C_n^p$ possibilités.
2) Je compte les couples $(x;y)$ : $\dfrac{n^2}{2}$ (car $(x;y)=(y;x)$).
3) Je compte les couples d'éléments de $B$ en utilisant les $2k$ éléments restants. J'utilise le fait que le nombre de partitions en paires dans un ensemble à $2k$ éléments est égal à $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
J'en conclus que le nombre cherché est $C_n^p\times \dfrac{n^2}{2}\times \dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Evidemment, c'est faux comme le montrent quelques essais numériques sur des petites valeurs de $n$ et $p$.
Quelle erreur de raisonnement fais-je donc ?
Merci.
j'ai deux ensembles finis $A$ et $B$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$ avec $p>n$ et $p-n=2k$.
Je cherche à calculer le nombre de couples $(x;y)$ tels qu'un élément de $A$ est nécessairement couplé à un élément de $B$ (sachant que l'ordre ne compte pas...)
Mon raisonnement est le suivant :
1) Je choisis les éléments de $B$ qui vont être couplés aux éléments de $A$. Il y a $C_n^p$ possibilités.
2) Je compte les couples $(x;y)$ : $\dfrac{n^2}{2}$ (car $(x;y)=(y;x)$).
3) Je compte les couples d'éléments de $B$ en utilisant les $2k$ éléments restants. J'utilise le fait que le nombre de partitions en paires dans un ensemble à $2k$ éléments est égal à $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
J'en conclus que le nombre cherché est $C_n^p\times \dfrac{n^2}{2}\times \dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Evidemment, c'est faux comme le montrent quelques essais numériques sur des petites valeurs de $n$ et $p$.
Quelle erreur de raisonnement fais-je donc ?
Merci.
Réponses
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Je ne suis pas sûr d'avoir compris.
Tu as l'air de compter les éléments du produit cartésien $A\times B$... auquel cas le cardinal est tout simplement $n\times p$. -
Je suis sûr de n'avoir pas compris.
La différence entre un couple $(x,y)$ et une paire $\{x,y\}$, c'est que $(x,y)\ne(y,x)$ si $x\ne y$ alors que $\{x,y\}=\{y,x\}$ – toujours.
La partie de la phrase « un élément de A est nécessairement couplé à un élément de B » est incompréhensible.
Dans la suite, on ne comprend pas du tout ce que viennent faire les coefficients binomiaux $C_n^p$ qui permettent de dénombrer les parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments – traduction : si $p>n$ il faut inverser les lettres pour espérer avoir un nombre non nul.
Par exemple, si $B=\{a,b,c\}$ et $n=2$, alors $C_3^2=3$, ce qui est le nombre d'éléments de $\bigl\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\bigr\}$. L'ensemble $A$ n'a rien à faire là-dedans. -
Merci à vous deux. Effectivement, je me suis mal exprimé.
Je reprends : il y a $n$ filles et $p$ garçons à une fête avec $p>n$ et $p-n=2k$. C'est l'heure de danser. Chaque fille invite un garçon pour former des paires "fille-garçon", les garçons qui restent forment également des paires "garçon-garçon".
De combien de façons les filles et les garçons peuvent-ils s'appairer ?
Je reprends mon raisonnement :
- les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $n$ parmi $p$ donc $C_p^n$ possibilités.
- une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\dfrac{n^2}{2}$.
- il reste à former des paires avec les garçons restants, il y a $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Cela est toujours faux mais c'est peut-être plus clair à comprendre et à corriger.
Merci. -
Classons les filles de la plus belle à la moins belle par ordre alphabétique.
La 1ère fille peut choisir parmi p garçons, la 2ème fille peut choisir parmi p-1 garçons....
On arrive à $\frac{p! }{ (p-n)!}$ couples.
Et c'est fini pour ces n couples.
Reste les $p-n=2k$ garçons, c'est la partie la plus compliquée, mais tu as donné la bonne formule $\frac {(2k)!}{2^k k!}$
Solution : $\frac{p! }{2^k k!} $Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Merci beaucoup lourrran.
Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi mon raisonnement est faux, qu'il n'hésite pas.
Bonne fête de pâques. -
Bonjour.
Je veux bien essayer de dire où ton raisonnement est faux, mais comme je ne comprends même pas la deuxième phrase, c'est difficile ! A moins que ce soit justement cette deuxième phrase, où tu donne une résultat sans rien justifier (comme à la première) qui pose problème.
"- les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $ n$ parmi $p$ donc $C_n^p$ possibilités." OK, tu as choisi un groupe de n garçons à apparier avec les n filles. et donc tu ne tiens pas compte d'un ordre. Il aurait été préférable de le dire, ou de parler d'un "ensemble de n garçons".
"- une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\frac{n^2}2$. Pourquoi ?
Au fait, quand on a un ensemble de n filles, un ensemble de n garçons et qu'on veut un moyen d'associer à chaque fille un unique garçon de façon qu'un garçon ne soit associé qu'à une seule fille, on appelle ça comment ?
Cordialement.
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