Deux ensembles et des couples
Bonjour à tous,
j'ai deux ensembles finis $A$ et $B$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$ avec $p>n$ et $p-n=2k$.
Je cherche à calculer le nombre de couples $(x;y)$ tels qu'un élément de $A$ est nécessairement couplé à un élément de $B$ (sachant que l'ordre ne compte pas...)
Mon raisonnement est le suivant :
1) Je choisis les éléments de $B$ qui vont être couplés aux éléments de $A$. Il y a $C_n^p$ possibilités.
2) Je compte les couples $(x;y)$ : $\dfrac{n^2}{2}$ (car $(x;y)=(y;x)$).
3) Je compte les couples d'éléments de $B$ en utilisant les $2k$ éléments restants. J'utilise le fait que le nombre de partitions en paires dans un ensemble à $2k$ éléments est égal à $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
J'en conclus que le nombre cherché est $C_n^p\times \dfrac{n^2}{2}\times \dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Evidemment, c'est faux comme le montrent quelques essais numériques sur des petites valeurs de $n$ et $p$.
Quelle erreur de raisonnement fais-je donc ?
Merci.
j'ai deux ensembles finis $A$ et $B$ de cardinaux respectifs $n$ et $p$ avec $p>n$ et $p-n=2k$.
Je cherche à calculer le nombre de couples $(x;y)$ tels qu'un élément de $A$ est nécessairement couplé à un élément de $B$ (sachant que l'ordre ne compte pas...)
Mon raisonnement est le suivant :
1) Je choisis les éléments de $B$ qui vont être couplés aux éléments de $A$. Il y a $C_n^p$ possibilités.
2) Je compte les couples $(x;y)$ : $\dfrac{n^2}{2}$ (car $(x;y)=(y;x)$).
3) Je compte les couples d'éléments de $B$ en utilisant les $2k$ éléments restants. J'utilise le fait que le nombre de partitions en paires dans un ensemble à $2k$ éléments est égal à $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
J'en conclus que le nombre cherché est $C_n^p\times \dfrac{n^2}{2}\times \dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Evidemment, c'est faux comme le montrent quelques essais numériques sur des petites valeurs de $n$ et $p$.
Quelle erreur de raisonnement fais-je donc ?
Merci.
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Réponses
Tu as l'air de compter les éléments du produit cartésien $A\times B$... auquel cas le cardinal est tout simplement $n\times p$.
La différence entre un couple $(x,y)$ et une paire $\{x,y\}$, c'est que $(x,y)\ne(y,x)$ si $x\ne y$ alors que $\{x,y\}=\{y,x\}$ – toujours.
La partie de la phrase « un élément de A est nécessairement couplé à un élément de B » est incompréhensible.
Dans la suite, on ne comprend pas du tout ce que viennent faire les coefficients binomiaux $C_n^p$ qui permettent de dénombrer les parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments – traduction : si $p>n$ il faut inverser les lettres pour espérer avoir un nombre non nul.
Par exemple, si $B=\{a,b,c\}$ et $n=2$, alors $C_3^2=3$, ce qui est le nombre d'éléments de $\bigl\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\bigr\}$. L'ensemble $A$ n'a rien à faire là-dedans.
Je reprends : il y a $n$ filles et $p$ garçons à une fête avec $p>n$ et $p-n=2k$. C'est l'heure de danser. Chaque fille invite un garçon pour former des paires "fille-garçon", les garçons qui restent forment également des paires "garçon-garçon".
De combien de façons les filles et les garçons peuvent-ils s'appairer ?
Je reprends mon raisonnement :
- les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $n$ parmi $p$ donc $C_p^n$ possibilités.
- une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\dfrac{n^2}{2}$.
- il reste à former des paires avec les garçons restants, il y a $\dfrac{(2k)!}{2^k.k!}$.
Cela est toujours faux mais c'est peut-être plus clair à comprendre et à corriger.
Merci.
La 1ère fille peut choisir parmi p garçons, la 2ème fille peut choisir parmi p-1 garçons....
On arrive à $\frac{p! }{ (p-n)!}$ couples.
Et c'est fini pour ces n couples.
Reste les $p-n=2k$ garçons, c'est la partie la plus compliquée, mais tu as donné la bonne formule $\frac {(2k)!}{2^k k!}$
Solution : $\frac{p! }{2^k k!} $
Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi mon raisonnement est faux, qu'il n'hésite pas.
Bonne fête de pâques.
Je veux bien essayer de dire où ton raisonnement est faux, mais comme je ne comprends même pas la deuxième phrase, c'est difficile ! A moins que ce soit justement cette deuxième phrase, où tu donne une résultat sans rien justifier (comme à la première) qui pose problème.
"- les filles choisissent les garçons, il faut en choisir $ n$ parmi $p$ donc $C_n^p$ possibilités." OK, tu as choisi un groupe de n garçons à apparier avec les n filles. et donc tu ne tiens pas compte d'un ordre. Il aurait été préférable de le dire, ou de parler d'un "ensemble de n garçons".
"- une fois les garçons choisis, il faut compter le nombre de paires "fille-garçons" possibles, il y en a $\frac{n^2}2$. Pourquoi ?
Au fait, quand on a un ensemble de n filles, un ensemble de n garçons et qu'on veut un moyen d'associer à chaque fille un unique garçon de façon qu'un garçon ne soit associé qu'à une seule fille, on appelle ça comment ?
Cordialement.