Université de Poitiers, M1MFA, TD Calcul Diff

@Aliounesarr96. Exercice 8, b et c. Rien à redire. Excellente astuce pour le c !

Merci Solène !

@Solène. Exercice 7. Les déterminants sont corrects (sauf pour $D_2$, où il faut un facteur $\exp (2xyz)$, mais ça ne change pas la discussion du signe). Par contre la discussion du signe de $D_3$ n'est pas correcte. $D_3$ est du signe de $xyz (3xyz +2)$. En posant $t=xyz$, il faut utiliser le signe de $t(3t+2)$ !

Attention aussi que $H$ définie négative si, et seulement si, $-H$ est définie positive. Les mineurs sont reliés comme suit : $D_1 (-H)=-D_1 (H)$, $D_2 (-H)=D_2 (H)$ et $D_3 (-H)=-D_3 (H)$. Donc pour que $H$ soit définie négative il faut que ses $D_1$ et $D_3$ soient $<0$ et sont $D_2$ soit $>0$.

Merci de corriger et bon courage.

@Solène. Exercice 8d. Merci pour la correction.
Comme expliqué dans mon message, vous pouvez utiliser le critère :

$H$ définie négative ssi $D_1 (H)<0$ et $D_2 (H)>0$ et $D_3 (h)<0$.

Complément sur le gradient.

Soit $E$ l'espace $\R^n$ muni de sa structure euclidienne usuelle (mais tout ce que je vais écrire sera valide pour $E$ euclidien quelconque). Soient $\Omega$ un ouvert de $E$ et $f$ : $\Omega\longrightarrow \R$ une application différentiable. Si $a\in \Omega$, on définit le gradient de $f$ en $a$ par
$$
\nabla f(a) =(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), ...,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)) \ .
$$
Le gradient de $f$ est la fonction
$$
\nabla\ : \ \Omega \longrightarrow E, \ x\mapsto \nabla f(x)\ .
$$
Cette fonction est entièrement caractérisée par la relation suivante :
$$
df_x (h)=\langle \nabla f(x),h\rangle , \ x\in \Omega ,\ h\in E\ .
$$


Supposons à présent que $f$ est de classe ${\mathcal C}^2$ sur $\Omega$. Alors en tout point $x$ de $\Omega$, $d^2 f_x$ est une application bilinéaire symétrique $E\times E\longrightarrow \R$.
D'un autre côté, la fonction $\nabla f$ est différentiable sur $\Omega$. En la différentiant, on obtient une fonction :
$$
d(\nabla f) \ \Omega \longrightarrow {\mathcal L}(E,E)={\mathcal L}(E)\ .
$$
En particulier, en tout $x\in \Omega$, $d(\nabla f)_x$ est un endomorphisme de $\Omega$. On a alors le fait remarquable suivant.

Proposition. La différentielle du gradient et la différentielle seconde de $f$ sont reliés comme suit :
$$
\forall x\in \Omega , \ \forall h, \ k\in E, \ d^2 f_x (h,k)=\langle d(\nabla f)_x (h),k\rangle\ .
$$


Rappelons que, pour $x\in \Omega$ et $h\in E$, le vecteur $d(\nabla f)_x (h)$ a une interprétation en termes de dérivée directionnelle :
$$
d(\nabla f)_x (h) =\lim_{t\rightarrow} \frac{1}{t}(\nabla f(x+th)-\nabla f(x))\ .
$$
On a donc la relation :
$$
d^2 f_x (h,k) = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}\langle \nabla f(x+th)-\nabla f(x), k\rangle , \ x\in \Omega , \ h,\ k\in E
$$
C'est cette relation qu'utilise Solène dans sa solution.

@Betrand. Extrema liés. Exercice 1. C'est correct. N'oubliez pas de préciser la régularité des fonctions pour pouvoir appliquer le théorème des extrema liés.


Indication pour le comportement à l'infini. Considérons la fonction $h$ : $\R\longrightarrow \R$, $t\mapsto -y^3 -y$. Alors $h$ est bijective et $\displaystyle \lim_{t\rightarrow \pm\infty} h^{-1}(t)=\mp\infty$. De plus, pour $(x,y)\in \R^2$, on a $g(x,y)=0$ si, et seulement si, $y=h^{-1}(x^3 +x-4 )$ si, et seulement si, $x=h^{-1}(y^3 +y-4)$.

Correction de la question 8d.

Il s'agit de montrer que si la Hessienne est positive en tout point de $U$, alors $f$ est convexe sur $U$.

L'hypothèse est : pour tous $h\in \R^n$, $x\in U$, $d^2 f_x (h,h)\geqslant 0$. Il faut montrer que pour tous $t\in [0,1]$, $x$, $y\in U$, $f(tx+(1-t)y)\leqslant tf(x)+(1-t)f(y)$. Pour cela, il suffit de montrer que, pour tous $x\not= y$ dans $U$, la restriction de $f$ au segment $[x,y]$ est convexe comme fonction d'une seule variable, c'est-à-dire que la fonction $h$ : $[0,1]\longrightarrow \R$, $s\mapsto f(x+s(y-x))$ est convexe. Cette fonction étant deux fois dérivable (comme composée de fonctions deux fois différentiables), le critère de L1 affirme que c'est équivalent à montrer que la dérivée seconde de $h$ est positive sur $[0,1]$. Calculons la.

Soit $s\in [0,1]$. Par le théorème de dérivation des fonctions composées, on a $h'(s) = \langle \nabla f(x+s(y-x)) ,y-x\rangle$. En dérivant une seconde fois, on obtient :
$$
h'' (s) = \langle d(\nabla f)_{x+s(y-x)}(y-x) ,y-x\rangle
$$
Or par le complément sur le lien entre différentielle du gradient et hessienne, ceci s'écrit encore :
$$
h'' (s) = d^2 (f)_{x+s(y-x)}(y-x,y-x)
$$
qui est bien positif ou nul par hypothèse. C.Q.F.D.

Je donne quelques indications pour les exercices sur les extrema liés.

> Exercice 5. Soient $a$ un réel $>0$ et
> $n$ un entier $\geqslant 2$. En optimisant la
> fonction $f$: $]0,+\infty [^n\longrightarrow \R$,
> $(x_1 ,...,x_n )\mapsto x_1 x_2 \cdots x_n$, sous
> la contrainte $x_1 +x_2 +\cdots +x_n =a$, montrer
> l'inégalité :
> $$
\left( \prod_{i=1,...,n} x_i
\right)^{1/n}\leqslant \frac{1}{n}\,
\sum_{i=1,...,n}x_i , \ (x_1 ,...,x_n )\in
[0,+\infty [^n\ .
$$
> Quand a-t-on égalité ?

Rechercher d'abord les extrema sur l'ensemble $\{ (x_1 ,...,x_n )\in [0,+\infty [^n\ ; \ x_1 +\cdots +x_n =a\}$ qui a le mérite d'être compact.

> Exercice 6. Inégalité de Hadamard. On
> munit $\R^n$ se sa structure euclidienne
> habituelle. Montrer que
> pour tous $v_1$, ..., $v_n\in E\backslash \{ 0\}$,
> on a
> $$
\vert {\rm det}(v_1 ,...,v_n )\vert \leqslant
\Vert v_1 \Vert \cdots \Vert v_n \Vert\ ,
$$
avec égalité si, et seulement si, la famille
$(v_1 ,...,v_n )$ est orthogonale. N.B. Le
déterminant est calculé dans la base canonique.

En divisant par les normes des vecteurs, et par multilinéarité du déterminant, l'inéquation s'écrit :
$$
\vert {\rm det}(\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert} ,...,\frac{v_n}{\Vert v_n \Vert} )\vert \leqslant 1\ .
$$
On est donc conduit à optimiser la fonction $f(v_1 ,v_2 ,...,v_n )={\rm det}(v_1 ,v_2 ,...,v_n )$ sous les contraintes $g_i (v_1 ,...,v_n )=\Vert v_i\Vert^2 =1$, $i=1,...,n$. Il faut donc calculer les différentielles des fonctions $f$ et $g_i$, $i=1,...,n$. La différentielle de $g_i$, $i=1,...,n$, se calcule en s'inspirant de ce qui a déjà été fait en TD. Pour différencier $f$, on remarque qu'elle est multilinéaire, donc de différentielle donnée par
$$
df_{(v_1 ,...,v_n )}(h_1 ,...,h_n )=\sum_{i=1}^{n} {\rm det}(v_1 ,...,v_{i-1},h_i, v_{i+1},...,v_n), (v_1 ,...,v_n )\in E^n , \ (h_1 ,...,h_n )\in E^n
\ .$$

Bertrand86 écrivait:

---

> exercice 5:

> Il reste à montrer que l'égalité n'est atteinte
> que pour $x_1=x_2=..=x_n$.

Il faut simplement utiliser que le maximum est atteint en un unique point.

Pause dominicale. Réouverture de la boutique lundi matin.

Voici une série d'exercices sur le thème de l'inversion locale.


Exercice 1. On considère l'application $f$ : $\R^2\longrightarrow \R^2$
donnée par $f(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

a) En quels points $f$ est-elle un ${\mathcal C}^\infty$-difféomorphisme local ?
b) Montrer que $f$ réalise un ${\mathcal C}^\infty$-difféomorphisme de $]0,+\infty [\times ]-\pi ,\pi [$ sur son image (que l'on précisera).


Exercice 2. On définit une application $f$ : $\R^2 \longrightarrow \R^2$ par $f(x,y)= (x^2 -y^2 ,2xy)$.

a) En quels points $f$ est-elle un difféomorphisme local ?
b) Montrer que $f$ réalise un ${\mathcal C}^\infty$ difféomorphisme de $\Omega =\{ (x,y)\ ; \ x>0\}$ sur son image (que l'on précisera).


Exercice 3. a) Racine $p$ième matricielle. Soient $n,p\geqslant 1$ des entiers. Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $I_n\in {\rm M}(n,\R )$ dans lequel toute matrice poss\`ede une racine $p$i\`eme. Pouvez-vous en expliciter un ?

b) Logarithme matriciel. Calculer la différentielle de l'exponentielle de matrice $\exp$ : ${\rm M}(n,\R )\longrightarrow {\rm M}(n,\R )$ en $0_n$. Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $I_n$ tel que pour toute matrice $M\in V$, il existe une matrice $N$ vérifiant $\exp (N)=M$.


Exercice 4. On considère l'application $f$ : $\R^2 \longrightarrow \R^2$ définie par $f(x,y)=(x+y, xy)$. En quels points $f$ est-elle un difféomorphisme local ? Montrer que $f$ réalise un ${\rm C}^\infty$-difféomorphisme de $\Omega =\{ (x,y)\in \R^2 \ ; \ x>y\}$ sur son image que l'on précisera.

Exercice 5. Soit $g$ : $\R\longrightarrow \R$ une application de classe ${\mathcal C}^1$, telle que $\vert g'(t)\vert \leqslant k$, pour tout $t\in \R$, pour un certain $k\in ]0;1[$. On définit une application $F$ : $\R^2 \longrightarrow \R^2$ par $F(x,y)=(x+g(y),y+g(x))$.

a) Montrer que $f$ est partout un ${\mathcal C}^1$-difféomorphisme local.
b) En appliquant le théorème du point fixe à $\varphi (x,y)=(a-g(y), b-g(x))$ ($(a,b)\in \R^2$ fixé), montrer que $F$ est bijective.
c) Que peut-on dire de $F$ ?

@AliouneSarr. Dans les deux exercices, vous oubliez l'injectivité. Rappelons que si $f$ : $\Omega\subset E\longrightarrow F$ est une application de classe $C^k$, $k\geqslant 1$, où $E$, $F$ sont deux EVN de dimension finie et $\Omega$ un ouvert de $E$, alors :

-- Si $f$ est partout un $C^k$-difféomorphisme local, $f(\Omega )$ est un ouvert de $F$.
- -- Si de plus $f$ est injective, $f$ réalise un $C^k$-difféomorphisme de $\Omega$ dans $f(\Omega )$.

De plus dans l'exercice 2, l'image est incorrecte. Merci de corriger. Plus précisément :

Attention, ce sont $x^2$ et $-y^2$ qui sont solutions de l'équation $4T^2 -4uT -v^2 =0$ !

Une autre façon plus simple de voir les choses est d'identifier $\R^2$ au plan complexe. L'application $f$ n'est alors rien d'autre que $z\mapsto z^2$. Elle envoie $\Omega =\{ z\in \C^* \ ; {\rm arg}(z)\in ]-\pi /2 ,\pi /2 [\ {\rm mod}\ 2\pi\}$ sur $f(\Omega ) = \{ z\in \C^* \ ; \ {\rm arg}(z)\in ]-\pi ,\pi [\ {\rm mod}\ 2\pi \}$. Donc $f(\Omega )$ est $\R^2$ privé de la demi-droite $\{ (x,0)\ ; \ x\leqslant 0\}$.

Je joins un dessin.

@Solène. (Inversion locale pour l'exponentielle de matrice).

Grosso-modo l'idée est bonne. Mais il faut être plus rigoureuse dans l'application du théorème d'inversion locale.

En fait seule la différentielle en l'identité était demandée, mais on n'en aura besoin plus tard partout. Vous devez savoir que $\exp$ est de classe $C^1$ pour appliquer le théorème d'inversion locale.

Pour l'étude en l'identité, on peut écrire pour $H\in {\rm M}(n,\R )$, $\exp (H) = I_n +H +H^2 g(H)$, où
$$
g(H) =\frac{1}{2!}I_n +\frac{1}{3!} H +\cdots =\sum_{n\geqslant 2} \frac{1}{n!}H^{n-2} \ .
$$
On voit que $g$, étant définie par une série convergeant normalement sur tout compact, est continue. Il s'ensuit que $H^2 g(H) = o(\Vert H\Vert )$ en $0_n$, et que $\exp$ est différentiable en $0_n$ de différentielle l'identité de ${\rm M}(n,\R )$.



On va plus généralement montrer que $\exp$ est de classe $C^1$ et calculer sa différentielle partout. Posons $f_n (X)=\frac{X^n}{n!}$, de sorte que $\exp$ est la somme de la série de fonctions $\sum_{n\geqslant 0} f_n$. Les $f_n$ sont de classe $C^1$. De plus pour tout $n\geqslant 1$, la différentielle de $f_n$ en $A\in {\rm M}(n,\R )$ est donnée par $d(f_n )_A (H)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n-1}A^k HA^{n-1-k}$. Une majoration de la norme subordonnée de $d(f_n )_A$ est $\frac{\Vert A\Vert^{n-1}}{(n-1)!}$. Il s'ensuit que la série des différentielles $\sum_{n\geqslant 1} d(f_n )$ est normalement convergente sur tout compact. Par le théorème du cours sur les séries de fonctions, la somme $\exp$ est de classe $C^1$ et pour tous $A$, $H\in {\rm M}(n,\R )$, on a
$$
d{\exp}_A (H)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n-1} A^k HA^{n-1 -k}\ .
$$



Puisque $d(\exp )_0$ est inversible, $\exp$ est localement un $C^1$-difféomorphisme en $0_n$.

On définit une application $g$ sur $B_o (I_n ,1)$ par $g(I_n +K) =\sum_{n\geqslant 1}(-1)^{n-1}\frac{K^n}{n}$. Cette série est normalement convergente sur toute boule ouverte de la forme $B_o (I_n ,r)$ avec $r<1$ et $g$ est bien définie. Je vous laisse vérifier, dites-moi si vous voulez des détails, que pour tout $H\in {\rm M}(n,\R )$ telle que $\exp (H)\in B_o (I_n ,1)$, on a $g(\exp (H)=H$. A présent, on vérifie en majorant terme à terme que $exp (H)\in B_o (0_n ,1)$ pour tout $H\in B_o (0_n ,\ln (2) )$. Il s'ensuit que la fonction $\exp$ est injective sur $B_o (0_n ,\ln 2)$ !

Nous allons montrer que $\exp$ est un $C^1$-difféomorphisme local en toute matrice de $B_0 (0_n ,\ln 2 )$, ce qui nous permettra d'appliquer le théorème d'inversion globale pour montrer que $\exp$ réalise un $C^1$-difféomorphisme de $B_0 (0_n ,\ln 2 )$ sur son image.

En utilisant la majoration des différentielles des $f_n$ utilisée plus haut, on montre que pour tout $A\in B_o (0_n ,\ln 2 )$, on peut écrire $d(\exp )_A ={\rm id} +{\mathcal H}$ où $\mathcal H$ est un endomorphisme de ${\rm M}(n,\R )$ de norme subordonnée $<1$. Mais de là il est classique de voir que $d(\exp )_A$ est inversible d'inverse $\sum_{n\geqslant 0} (-1)^n {\mathcal H}^n$. D'où le résultat !


Remarque d'ordre méthodologique. La difficulté de l'exercice vient de ce que l'on travaille en quelque sorte avec $3$ espace vectoriels normés : $\R^n$, ${\rm M}(n,\R )\simeq {\rm End} (\R^n )$ et ${\rm End} ({\rm M}(n,\R ))$. On a fixé une norme $\Vert\cdot \Vert$ sur $\R^n$, on a pris la norme subordonnée $\Vert \cdot\Vert_1$ sur ${\rm M}(n,\R )$, et on a pris la norme subordonnée $\Vert\cdot\Vert_2$ de cette dernière norme sur ${\rm End}({\rm M}(n,\R ))$. Et enfin pour alléger les notations on a fait l'abus de notation : $\Vert \cdot \Vert_2 =\Vert\cdot\Vert_1 =\Vert\cdot\Vert$ !!