Sur une somme
Bonjour,
quelqu'un peut-il m'aider pour le calcul de cette somme $$\frac{r!(n-r)!}{n!} \sum_{k=1}^{n-r+1}k \frac{(n-k)!}{(r-1)!(n-k-r+1)!}\quad ?$$ Je n'y arrive pas merci encore.(:P)
quelqu'un peut-il m'aider pour le calcul de cette somme $$\frac{r!(n-r)!}{n!} \sum_{k=1}^{n-r+1}k \frac{(n-k)!}{(r-1)!(n-k-r+1)!}\quad ?$$ Je n'y arrive pas merci encore.(:P)
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Réponses
Je crois que ça donne $
\displaystyle
\sum_{k=0}^{n-s} k \cdot \binom{n-k}{s}
= \sum_{i=s}^{n} (n-i) \cdot \binom{i}{s}
= n \cdot \sum_{i=s}^{n} \binom{i}{s}
+ \sum_{i=s}^{n} \underbrace{i \cdot \binom{i}{s}}_{(s+1)\cdot \binom{i+1}{s+1}}
$.
Ensuite, on conclut par $\displaystyle \sum_{i=s}^{n} \binom{i}{s} = \binom{n+1}{s+1}$. https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity
Il est probablement possible de faire beaucoup plus élégant et moins long !