Matrices inversibles à dénombrer
Bonjour. Je cherche à majorer le nombre de matrices carrées de taille n, inversibles, comportant sur chaque colonne deux 1 et (n-2) 0, par n! (n-1)^n. Vu le but, il suffirait de prouver qu'un tableau qui convient "contient" une matrice de permutation.. J'ai un peu de mal à bien utiliser la liberté des vecteurs colonnes. D'avance, merci pour vos réponses.
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Réponses
$n \geq 2$ sinon il est difficile de placer deux $1.$
Première colonne : $k=0$
On a $n$ places pour le premier $1$ et $n-1$ places pour le second. Mais le résultat est le même que si les places sont inversées. Donc on a $n(n-1)/2-k$ colonnes différentes.
Deuxième colonne : $k=1$
Pareil mais la matrice doit être inversible et la deuxième colonne n’en peut pas égaler la première.
Donc $n(n-1)/2-k$ colonnes différentes.
Troisième colonne : $k=2$
Pareil mais cette colonne doit différer des deux autres.
Donc $n(n-1)/2-k$...
Au total je trouve donc $\prod_{k=0}^{n-1} (n(n-1)/2-k)$ matrices différentes.
Ajout : Il s’agit de matrices avec deux $1$ dans chaque colonne et dont les colonnes sont deux à deux distinctes. Mais ces matrices ne sont pas nécessairement inversibles.
Une condition d’inversibilité est la non nullité du déterminant.
Mais je ne sais pas écrire cette condition de façon utile au calcul...
Par exemple la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}$ n'est pas inversible.