Nombres et réalité (espace / longueurs)
Bonjour,
Je ne sais pas si ma question est plus mathématique que physique, elle est sans doute entre les deux. Je souhaiterais connaître la façon dont on a commencé à mettre en place des nombres derrière les longueurs et les distances spatiales. C'est-à-dire comment l'on a soudé mathématiques et espace, en élaborant des plans et des unités comme le mètre, ou n'importe quelle unité de mesure, pour savoir comment on est arrivé à traduire la juxtaposition spatiale de longueurs en une addition mathématique de nombres associés (comme par exemple une ligne d'1,1 mètre et une ligne de 0,45 mètre qu'on accole donnent une ligne de 1,55 mètre), autrement dit l'additivité des longueurs / du mètre. Car bien que cela paraisse logique ou instinctif, je me doute bien que cela a dû être concrétisé rigoureusement avec des constructions théoriques... Et j'aimerais bien justifier le fait que quand on me parle de nombres, je les visualise de manière entièrement spatiale. Mais je n'arrive pas du tout à trouver ce genre d'explication sur internet. Pourriez-vous m'aider ?
Merci !
Je ne sais pas si ma question est plus mathématique que physique, elle est sans doute entre les deux. Je souhaiterais connaître la façon dont on a commencé à mettre en place des nombres derrière les longueurs et les distances spatiales. C'est-à-dire comment l'on a soudé mathématiques et espace, en élaborant des plans et des unités comme le mètre, ou n'importe quelle unité de mesure, pour savoir comment on est arrivé à traduire la juxtaposition spatiale de longueurs en une addition mathématique de nombres associés (comme par exemple une ligne d'1,1 mètre et une ligne de 0,45 mètre qu'on accole donnent une ligne de 1,55 mètre), autrement dit l'additivité des longueurs / du mètre. Car bien que cela paraisse logique ou instinctif, je me doute bien que cela a dû être concrétisé rigoureusement avec des constructions théoriques... Et j'aimerais bien justifier le fait que quand on me parle de nombres, je les visualise de manière entièrement spatiale. Mais je n'arrive pas du tout à trouver ce genre d'explication sur internet. Pourriez-vous m'aider ?
Merci !
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Réponses
Je ne sais si j'ai bien compris ta question, mais cela me fait penser aux mesures de longueurs et de surfaces des champs dans la vallée du Nil, chez les anciens Egyptiens ... ainsi qu'au fait que certaines anciennes unités de mesure de longueur, d'ailleurs toujours utilisées dans certains pays, notamment Royaume-Uni et USA, étaient prises carrément sur le corps humain : pieds, pouces, coudées, palmes (paume de la main), empans ... Un autre exemple, romain, est celui du pas et de son multiple, le mille ...
Il est certain que ces questions de mesure de quantités de toute nature (longueur, poids, volume, nombre d'articles ...) se sont posées dès le début, et peut-être même encore avant cela, des diverses civilisations en Egypte, en Mésopotamie, en Chine ... Quant aux constructions théoriques justificatives, elles ont probablement suivi d'assez loin ...
Bien cordialement
JLB
@ admin : je suggère de déplacer ce fil dans le forum "histoire des mathématiques".
Une des origines des mathématiques est l'activité des scribes égyptiens, chargés de rétablir les limites des champs autour du Nil après les inondations (bénéfiques). Donc dès le début du premier millénaire avant notre ère, les questions que tu te poses étaient "résolues" par des habitudes de travail.
Ensuite, dans la constitution des mathématiques écrites, les mathématiciens grecs, face à la faillite des nombres (crise des irrationnels), fondèrent les mathématiques sur la géométrie, y compris les nombres (voir les "éléments" d'Euclide). Depuis 150 ans, on a en fait renversé le propos, et fondé la géométrie sur les nombres, mais en tout cas, il y a une unité profonde entre les deux notions.
Une dernière chose : Dans les travaux de psychologie des nombres réalisés par Stanislas Dehaene, a été mise en évidence une sorte de répartition spatiale des petits nombres dans le cerveau pensant, l'échelle se réduisant vite avec la taille des nombres (*). Donc le lien "distance/nombre" est plus ou moins câblée dans nos neurones.
Cordialement.
(*) ce qui fait qu'on distingue à vue 3 bonbons de 4 bonbons, mais bien moins facilement 42 de 43.
Et dans ce cas-là, peut-on dire que l’additivité des longueurs est un axiome, ou il y a quelque chose de plus technique derrière cela ?
Cordialement.
Andropie
2) L'additivité des longueurs est une conséquence de la définition des nombres chez les grecs (si B est entre A et C sur une droite, alors AC=AB+BC, puisque ces nombres sont justement définis ainsi. C'est, je crois, un axiome ou une conséquence d'un axiome plus "technique" dans l'axiomatique de Hilbert. C'est une conséquence de la définition de la géométrie euclidienne à partir des espaces vectoriels $\mathbb R^n$ dans les présentations actuelles de la géométrie.
Des géomètres historiens du forum compléteront (ou me démentiront si j'ai parlé trop vite).
Je voudrais également savoir si, lorsque l'on définit une unité, l'additivité qui en découle est une conséquence de la définition de l'addition mathématique ? Par exemple, si je définis comme unité le "cookie" pour dénombrer des cookies, et que je prends d'un côté 3,23 cookies et d'un autre 2,5 cookies, je vais "spatialement" me retrouver avec la quantité qui correspond mathématiquement à 3,23 + 2,5 = 5,73 cookies. Mais qu'est-ce qui me garantit que c'est bien l'addition qui me permet de conclure à ce résultat ? Est-ce que c'est parce que l'on a défini l'addition pour qu'elle réponde à ce problème ? Ou encore est-ce que cela découle d'un axiome géométrique, comme celui dont vous me parliez chez les Grecs précédemment, sur lequel l'addition a été construite, car l'on peut associer un volume à un cookie, et se ramener à des calculs de volume ?
Merci
je ne comprends pas trop où se situe ta question. Tu sembles poser le problème de l'application des maths à la réalité, problème philosophique non résolu (Wigner parlait de la "déraisonnable efficacité des mathématiques"), même si les notions mathématiques initiales ont été abstraites de la réalité. Dans ce cas, ce n'est pas aux matheux qu'il faut demander (ils appliquent peu de mathématiques, ils s'y intéressent "de l'intérieur", et leur priorité est la cohérence). Vois un ouvrage d'épistémologie, ou tape "déraisonnable efficacité des mathématiques" sur ton moteur de recherche.
D'un point de vue interne aux mathématiques, il n'y a pas d'unités autres que des unités de longueur (formelles), aire, volume, ... et d'angle.
Cordialement.
Cordialement
Cordialement JLB
La longueur des barres dépend de leur température, et la dilatation thermique n'est pas la même selon le matériau. La dilatation thermique est un problème dans la construction des ponts par exemple, pour les canalisations, les chemins de fer... J'ajoute cette remarque pour montrer que tes questions soulèvent un problème de physique et "d'ingénierie".
On peut juger de la qualité d'un instrument de mesure si on a une "bonne" théorie de cet instrument de mesure. Mais comment vérifie-t-on la validité d'une théorie ? En faisant des expériences... grâce aux instruments de mesure. C'est un problème infini.
Qui était le premier vrai physicien qui fait des mesures scientifiques ? Les Astronomes babyloniens ? Ératosthène quand il mesure la terre ? Aristarque de Samos ? Bachelard n'était pas loin de penser que c'était Lavoisier. Je dirais qu'Archimède était peut-être un des premiers à travailler sur ces questions à la fois en physicien et en mathématicien : La quadrature ; la poussée d'Archimède qui dépend de la densité des objets flottants.
L'arpentage est une application ancienne. Papyrus_Rhind
attention Gérard ! tu cites les unités de longueur, aire, volume, angle
il ne faut pas oublier les unités de temps (plus difficiles à définir) et surtout les êtres vivants :
après tout les Romains agriculteurs éleveurs ont inventé leur système numérique si lourd et peu pratique (avec l'absence du zéro)
avec des I, X, V et C qui symbolisent les bêtes qu'ils possédaient et qu'il fallait compter après chaque journée passée au champ
d'autre part les Romains étaient aussi soldats, centurions et légionnaires
et les consuls et généraux devaient savoir compter rapidement les membres de leurs cohortes et légions, avant et après les combats
cordialement
https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_du_nombre_chez_l'enfant
(autre illustration (atypique) de l'ontogenèse permettant de comprendre la phylogenèse ...)