Théorie des représentations modulaires

Je souhaitais revenir sur un élément essentiel à l'origine de la théorie modulaire.
Tout n'est pas encore parfaitement clair dans mon esprit, aussi, si quelqu'un détecte une erreur, une approximation ou si il veut apporter des précisions, qu'il ou elle ne se gêne pas.

$\textbf{Théorème}$: soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini et $k[G]$ une algèbre de groupe.
Si la caractéristique de $k$ divise l'ordre de $G$, $k[G]$ n'est pas semi-simple.

L'idée est de montrer que, pour chaque idéal à gauche de $k[G]$, $\textbf{il n'existe pas}$ d'idéal à gauche $J$ tel que $I \oplus J=k[G]$ (i.e. $I \cap J = \emptyset$ et $I+J=k[G]$).

On pose $I:=\{\sum_{g \in G} a_g.g:\: a_g \in k, \: \text{tel que} \: \sum a_g=0\}$, un idéal blatère de $k[G]$.
Chacun aura reconnu en $I$, $\textbf{l'idéal d'augmentation}$ de $k[G]$, c'est-à-dire le noyau de l'application augmentation $\displaystyle \omega: \: k[G] \longrightarrow k$ définie par:
\begin{equation}
\displaystyle \omega\big(\sum_g k_g.g\big)=\sum_g k_g
\end{equation}
avec $.$ la loi multiplicative de $G$, $k_g \in k$ et $g \in G$.

Supposons que $k[G]=I \oplus J$ pour un certain idéal à gauche $J$ de $k[G]$.
Alors $\dim J=1$. $\textbf{Pourquoi ?}$
$k[G]$ a été défini comme un espace vectoriel sur $k$. La dimension de $k[G]$ en tant que $k$-espace vectoriel est l'ordre (fini !) de $G$ sur $k$.
Le théorème du rang énonce que la dimension de l'idéal $I$ en tant que $k$-espace vectoriel est $n-1$. Son complément $J$ est alors de dimension $1$.

Un raisonnement alternatif est le suivant: on sait que $I= \ker \omega$. Par le théorème d'isomorphisme, on a un isomorphisme de $K$-algèbres:
\begin{equation}
\displaystyle k \cong k[G]/I
\end{equation}

En considérant les dimensions sur $k$ des deux côtés du signe isomorphe:

\begin{equation}
\displaystyle \dim_k (k[G])-\dim_k (I)=|G|- \dim_k(I)=\dim_k(k)=1
\end{equation}
Et donc
\begin{equation}
\displaystyle \dim_k(I)=|G|-1
\end{equation}
Par hypothèse, $k[G]=I \oplus J$. On a donc également:
\begin{equation}
\displaystyle |G|=\dim_k k[G]=\dim_k(I)+\dim_k(J)=|G|-1+\dim_k(J)
\end{equation}

On en déduit que $\dim_k(J)=1$. Donc l'idéal $J$ est engendré sur $k$ par $\textbf{un seul élément}$ de $k[G]$, disons $\alpha=\sum_g b_g.g$.
Puisque $\alpha g$ est un scalaire multiple de $\alpha$ pour tout $g \in G$, tous les $b_g$ doivent être égaux à un certain $b \in k$.
$\alpha=b(\sum_g g)$ appartient donc à l'idéal $I$ puisque la somme de ses coefficients est $|G|b=0$. Ce qui signifie que, si il existe, l'idéal $J$ ne peut pas vérifier $I \cap J=\emptyset$.
$\textbf{cqfd}$.

Il eut été plus logique de commencer par la démonstration du fait que si la caractéristique de $k$ ne divise pas l'ordre de $G$ alors $k[G]$ est semi-simple mais elle plus calculatoire. J'y reviendrai.

Pour finir: un algébriste distingué m'a soufflé une deuxième démonstration de la non semi-simplicité de $k[G]$. Je ne l'ai pas comprise car je n'ai pas encore vu la notion de $\textbf{radical de Jacobson}$. Je la donne quand même car il paraît qu'elle est (selon son auteur) $\textbf{"la plus simple possible"}$.

Sous les hypothèses énoncées plus haut, $k[G]$ n'est pas semi-simple: en effet, si $k[G]$ contient un $\textbf{élément nilpotent central non nul}$, il se trouve nécessairement dans le radical de Jacobson et les anneaux semi-simples n'ont pas de radical de Jacobson non trivial. Un tel élément central nilpotent écrit sous la forme $x=\sum_{g \in G} g$ vérifie $x^2=|G|x$ et si la caractéristique de $k$ divise $|G|$ alors le côté droit de cette dernière égalité est $0$.
$\textbf{cqfd}$.

Je n'oublie pas les deux exercices que j'ai moi-même proposé (je n'aurais peut-être pas dû !).
Je m'y attaquerai dès que j'aurai résolu l'avalanche de problèmes qui me tombe dessus ces derniers jours. Problèmes n'ont rien de mathématiques hélas !

Cordialement.
...

Bonjour,

je vais essayer d'étoffer un peu le premier lexique en faisant une nouvelle synthèse des notions de base de la théorie des représentations centrée, cette fois, sur les caractères modulaires: pour les comprendre surtout (et pour entretenir la flamme...)

$\textbf{1. Le problème avec les caractères ordinaires...}$

D'ailleurs, je me suis rendu compte qu'il était plus facile de comprendre les caractères modulaires que leur utilité dans des applications bien concrètes; utilité qui est réelle bien sûr ! Encore que... sans vouloir écorner le mythe, des auteurs en relativisent la portée notamment quand il s'agit de décrire la complexité de certains modules.
Ils ont cependant été crée pour remédier aux insuffisances de la théorie classique.
Et effectivement, ils permettent de sortir de l'ambiguïté car si deux représentations modulaires très différentes peuvent avoir des caractères ordinaires égaux, ces nouvelles fonctions attribuées à tout $K[G]$-module $M$ présentent l'avantage d'être égales si et seulement si les représentations irréductibles associées sont isomorphes.
Bien qu'ils héritent à peu près des mêmes propriétés et comportements que les caractères ordinaires, (ils se confondent parfois avec eux pour des groupes de tailles modestes), leur construction est un peu plus délicate.

$\textbf{2. NOTATIONS}$

Dans tout ce qui suit, $G$ est un $\textbf{groupe fini}$, les représentations sont de degré fini $n$ tous les modules seront générés de manière finie.
$p$ est un nombre premier, $r$ ,$u$, $v$ des entiers naturels, $\zeta$ est une racine de l'unité.

L'exposant de $G$ noté $m$ s'écrit $m=p^rm', \: (p,m')=1$.
Comme il va revenir souvent, j'insiste sur le fait que l'exposant $m$ de $G$ (qu'on va définir) s'écrit toujours sous cette forme: $\large{m=p^rm'}$.

L'ordre $d$ d'un élément $g \in G$ quelconque s'écrit $d=\langle g \rangle=p^u\mathscr{l}, \: (p,\mathscr{l})=1$.

L'ordre de $G$ noté $o=|G|$ s'écrit $o=p^vq, \: (p,q)=1$.

Il semble d'usage courant, quand on définit les caractères modulaires, de noter $\tilde{\zeta}$ une racine de l'unité dans un corps $\mathbb{K}$ dont l'image par une certaine application isomorphe sera simplement $\zeta$. Cette convention "contre-nature" peut-être source de confusion.
Il faut donc bien avoir en tête qu'à partir de maintenant et jusqu'à la définition des caractères modulaires (seul et UNIQUE but de ce post), $\tilde{\zeta}$ est l'antécédent et $\zeta$ l'image !

Voilà pour les notations les plus courantes.

$\textbf{3. Lexique sur les représentations modulaires des groupes finis}$

$\textbf{Racines primitives}$

Dans un corps quelconque $K$, un élément $\zeta$ vérifiant $\zeta^n=1$ pour $n$ entier est une racine de l'unité.

Si, pour un entier positif $n$, $\zeta^n=1$ et pour tout $t$ positif, $t<n$, $\zeta^t \neq 1$, alors $\zeta$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité.

\begin{equation}
\displaystyle \mu_n=\{\zeta \in K^{\times} : \: \zeta^n=1 \}
\end{equation}

est un groupe fini puisque dans tout corps, il y a au plus $n$ solutions à l'équation $\zeta^n=1$.


$\textbf{Valuation discrète et anneaux de valuation}$

Soit $K$ un corps et $K^{\times}$ le groupe multiplicatif des inversibles de $K$. Une $\textbf{valuation discrète}$ de $K$ est un homomorphisme surjectif $\mathscr{v}: K^{\times} \longrightarrow \mathbb{Z}$ tel que:
\begin{equation}
\displaystyle \mathscr{v}(x+y) \geq \inf (\mathscr{v}(x), \mathscr{v}(y)), \: \: \: x,y \in K^{\times}
\end{equation}
On étend $\mathscr{v}$ à $K$ en posant $\mathscr{v}(0)=+\infty$.
L'ensemble $\textbf{R}$ des éléments $x \in K$ tels que $\mathscr{v}(x) \geq 0$ est un sous-anneau de $K$ appelé anneau de valuation de $\mathscr{v}$ ou anneau des entiers de $K$.
Il possède un unique idéal maximal: l'ensemble $\mathfrak{m}$ des $x \in K$ tels que $\mathscr{v}(x) \geq 1$.

On appelle $k=\textbf{R}/\mathfrak{m}$, le "corps résiduel" de $\textbf{R}$.

Tout ce beau monde va se retrouver dans les systèmes $p$-modulaires !

$\textbf{Quelques définitions relatives au groupe fini G}$

Un élément $g \in G$ est $p$-régulier si son ordre $d$ est premier à $p$. Il est dit $p$-singulier si son ordre est une puissance de $p$.

Soit $g \in G$ d'ordre $d=|\langle g \rangle|=p^u\mathscr{l}$ vérifiant $(p,\mathscr{l})=1$ et $1=ap^u+b\mathscr{l}, \: \: a,b \in \mathbb{Z}$ (relation de Bezout).

On appelle $g_p:=g^{ap^u}$ et $g_{p'}:=g^{b\mathscr{l}}$ les parties $p$-singulière et $p$-régulière, respectivement, de $g \in G$.
$\textbf{Note}$: les entiers relatifs $a$ et $b$ sont uniquement déterminés modulo $p^u\mathscr{l}$.

Tout $g \in G$ s'écrit de manière unique sous la forme d'un produit commutant:$g=g_{p'}g_p=g_pg_{p'}$ où l'ordre de sa partie $p$-régulière $g_{p'}$ n'est pas divisible par $p$ et l'ordre de sa partie $p$-singulière est une puissance de $p$.

On note $G_{reg}$, (on le trouve parfois noté $G_{p'}$), l'ensemble des éléments $p$-réguliers de $G$ (ceux dont l'ordre est premier à $p$ donc).
Si par exemple $g \in G$ est un élément $p$-régulier de $G$, son ordre est $d=p^u\mathscr{l} \: (p,\mathscr{l})=1$ avec $u$, la puissance de $p$, égale à zéro puisque $\langle g \rangle$ n'est pas divisible par $p$ et on a: $g=g^ag^{bq}$.

$\textbf{L'exposant}$ $m=p^rm', \: (p,m')=1$ de $G$ est le plus petit entier positif vérifiant $g^m=1$ pour tout $g$ de $G$.
$m$ est ainsi le plus petit multiple commun des ordres des éléments de $G$.
Bien sûr, par Lagrange, l'exposant d'un groupe $G$ divise l'ordre de $G$. Dans le cas cyclique, l'exposant et l'ordre sont égaux.

Par exemple, le groupe $\mathfrak{S}_3$ contient des éléments d'ordre $2$ comme $\langle (12) \rangle = \{Id, (12) \}$ et d'ordre $3$ comme $\langle (132) \rangle =\{Id, (123), (132)\}$. Son exposant $m$ est donc $6$ bien que $\mathfrak{S}_3$ ne contienne pas d'éléments d'ordre $6$ ! Le cas où un groupe d'exposant $m$ contient un élément d'ordre $m$ ne se présente que si $G$ est abélien.

Un exercice intéressant: trouver l'ordre et l'exposant du groupe: $U_{24}=(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}^{\times},.)$

Un sous-corps $K$ de $\mathbb{C}$ est un $\textbf{corps de décomposition}$ pour une représentation irréductible $\rho$ si $\rho$ est irréductible sur toute extension de $K$.
On dit que $K$ est un corps de décomposition pour le groupe $G$ si $K$ est un corps de décomposition pour toute représentation de $G$.
Sur un tel corps, chaque représentation irréductible $\rho: G \longrightarrow GL_n(\mathbb{C})$ est équivalente à une représentation $\rho' \longrightarrow GL_n(K)$.
Ce concept remonte aux travaux de Schur sur les propriétés arithmétiques des représentations; Issai Schur sous la supervision duquel Brauer a travaillé lorsqu'il était étudiant à l'université de Berlin en 1926.

$\textbf{Note}$: si $K$ est un corps de décomposition de $G$, des modules simples distincts demeurent simples sous divers extensions de $K$ et leurs propriétés inchangées.

$\textbf{Systèmes p-modulaires}$

Soit un premier $p$ divisant $|G|=o=p^vq,\:(p,q)=1$. On appelle système $p$-modulaire le triplet $(\mathbb{K}, \textbf{R}, k)$ où:

• $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique $0$ muni d'une valuation discrète $\mathscr{v}$. Le point important est que $\mathbb{K}$ est suffisamment grand pour le groupe $G$ c'est-à-dire qu'il contient toutes les racines $m$-ième de l'unité où $m$ est l'exposant de $G$.

• $\textbf{R}$ est l'anneau (local) de valuation discrète des entiers de $\mathbb{K}$ i.e. $\textbf{R}=\{x \in \mathbb{K} \: | \: v(x) \geq 0 \}$.
Comme déjà mentionné: $\textbf{R}$ est un sous-anneau de $\mathbb{K}$ dans lequel tout idéal premier est maximal.
On note $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal de $\textbf{R}$ contenant $\pi\textbf{R}$ où $\pi$ est un générateur de $\mathfrak{m}$.
Tout élément de $\textbf{R}$ s'écrit $a=u\pi^s$ pour une unité $u$ de $\textbf{R}$ et $s \in \mathbb{Z}$.

• $k$ est le $\textbf{corps résiduel}$ fini, algébriquement clos, de caractéristique positive $p$.
Il s'obtient en formant le quotient de $\textbf{R}$ par l'idéal premier $\mathfrak{m}$ de $\textbf{R}$
$\mathfrak{m}$ étant un idéal maximal de $\textbf{R}$, l'anneau-quotient $\textbf{R}/\mathfrak{m}$ est un corps (i.e. il ne possède pas d'idéaux propres) et cette construction définit un homomorphisme d'anneaux appelé $\textbf{réduction modulo}$ $\mathfrak{m}$:
\begin{equation}
\displaystyle \: f_{\mathfrak{m}}: \: \textbf{R} \longrightarrow k \cong \textbf{R}/\mathfrak{m}.
\end{equation}

Dans les systèmes modulaires, on choisi souvent pour $\mathbb{K}$, une extension finie du corps des rationnels.
Par exemple, pour $G$ d'exposant $m$, le corps cyclotomique $\mathbb{Q}(\zeta_{m})$ généré par la racine primitive $m$-ième de l'unité sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps de décomposition pour $G$ et tous ses sous-groupes.

$\textbf{Représentations modulaires}$

Comme précédemment définis, soient $\textbf{R}$ un anneau local de caractéristique $0$, d'idéal maximal $\mathfrak{m}$ et de corps résiduel $k=\textbf{R}/\mathfrak{m}$ de caractéristique $p>0$. On appelle $\textbf{représentation modulaire}$ d'un groupe fini $G$, une représentation de $G$ dans un $k$-espace vectoriel de dimension finie.

Maintenant que l'on dispose un peu du formalisme des systèmes modulaires, on leur rajoute l'importante propriété suivante.

$\textbf{Corps suffisamment grands par rapport à un groupe G}$

Un corps $K$ de caractéristique nulle ou positive est suffisamment grand par rapport à un groupe $G$ d'exposant $m=p^rm', \: (p,m')=1$ si il contient toutes les racines $m$-ième de l'unité ou si il contient une racine primitive $m'$-ième de l'unité où $m'$ est la partie $p$-régulière de l'exposant $m$ de $G$.

$\textbf{Théorème 1}$

Soit $(\mathbb{K}, \textbf{R}, k)$ un système $p$-modulaire.
Si $\mathbb{K}$ est suffisamment grand par rapport à $G$, alors $k$ l'est également. De plus $\mathbb{K}$ et $k$ sont des corps de décomposition pour $G$ et tous ses sous-groupes.

$\textbf{Démonstration}$

Soient $m$ l'exposant de $G$ et $\tilde{\zeta}$ une racine primitive $m$-ième de l'unité dans $\mathbb{K}$.
Pour démontrer la première partie de ce résultat, on commence par remarquer que $\tilde{\zeta}$ est un entier algébrique de $\mathbb{K}$ inclut dans $\textbf{R}$ puisqu'il vérifie $\displaystyle \tilde{\zeta}^m-1=0$. On a:

\begin{equation}
\displaystyle X^{m}-\tilde{1}=\prod_{i=0}^{m-1}\: (X-\tilde{\zeta}^i) \: \: \text{dans} \: \textbf{R}[X].
\end{equation}

Par passage au corps de classe résiduel $k=\textbf{R}/\mathfrak{m}$ on obtient:
\begin{equation}
\displaystyle \big(X^{m'}- 1\big)^{p^r}=X^{m}-1=\prod_{i=0}^{m-1} \big(X-\zeta^i\big) \: \: \text{dans} \: \: k[X].
\end{equation}

L'ensemble $\displaystyle \{\zeta^i: 0 \leq i \leq m-1\}$ donne toutes les puissances $m'$-ième de l'unité, chacune avec multiplicité $p ^r$.
Chaque $\zeta^i \in k$ puisque $\tilde{\zeta}^i \in \textbf{R}$ donc $k$ contient toutes les racines $m'$-ième et $m$-ième de l'unité.

$\textbf{Note}$: On sait depuis les travaux de Frobenius, que pour tout groupe fini $G$, il existe un corps de nombres algébriques $K$ (i.e. une extension finie de $\mathbb{Q}$) qui est le corps de décomposition de $G$. Par exemple, les corps de décomposition des groupes cycliques s'obtiennent par adjonctions de racines de l'unité au corps des rationnels.
Brauer avait démontré que les corps algébriquement clos sont des corps de décomposition pour les algèbres finies semi-simples.
Puis il affina ce résultat en démontrant le théorème suivant.

$\textbf{Théorème (Brauer)}$

Soient $G$ un groupe fini d'exposant $m$ et $\zeta$ une racine primitive de l'unité d'ordre $m$.
Si $K$ est un corps dont la caractéristique ne divise pas l'ordre de $G$ alors $K(\zeta)$ est un corps de décomposition pour $G$.

Ce théorème permet, par exemple, d'affirmer que $\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}})$ et $\mathbb{F}_p(\zeta)$ (où $\zeta$ est une racine primitive $m$-ième de l'unité dans une extension $\mathbb{F}_p)$ sont des corps de décomposition pour tout groupe fini $G$.

$\textbf{Note}$: Dans le système $p$-modulaire $(\mathbb{K}, \textbf{R}, k)$, par hypothèse, $\mathbb{K}$ contient une racine de l'unité. Alors cette racine appartient à l'anneau local $\textbf{R}$ des entiers de $\mathbb{K}$ puisque les racines de l'unité ont toujours pour valuation $1$. Le théorème de Brauer permet de conclure qu'à la fois $\mathbb{K}[\zeta]$ et $\textbf{R}$ sont des corps de décomposition par rapport à $G$.

$\textbf{Réduction modulo}$ $\mathfrak{m}$

Soient $(\mathbb{K}, \textbf{R}, k)$ un système $p$-modulaire de décomposition, $m=p^rm', (p,m')=1$ l'exposant de $G$ et $\tilde{\zeta}$ une racine primitive $m'$-ième de l'unité dans $\mathbb{K}$. Sa valuation étant $1$, $\tilde{\zeta} \in \textbf{R}$.

Alors l'application résiduelle $\: f_{\mathfrak{m}}: \: \textbf{R} \longrightarrow \textbf{R}/\mathfrak{m} \cong k$ est un homomorphisme d'anneaux. Il induit l'isomorphisme restreint, $\theta$, entre le groupe des racines de l'unité d'ordre premier à $p$ dans $\mathbb{K}$ et le groupe des racines de l'unité dans le corps résiduel $k$:

\begin{align*}
\theta\:\: \colon \mu_{m'}(\mathbb{K}) &\longrightarrow \mu_{m'}(k)\\
\zeta &\longmapsto \zeta+\mathfrak{m}_{R}.
\end{align*}

En particulier, l'image de $\tilde{\zeta}$, racine $m'$-ième de l'unité dans $\textbf{R}$ est $f_{\mathfrak{m}}(\tilde{\zeta})=\zeta$, une racine primitive $m'$-ième de l'unité dans $k$.

Les caractères modulaires se construisent en remplaçant les valeurs propres d'une représentation par les racines de l'unité correspondantes dans $\mathbb{C}$.
Encore faut-il prouver que ces deux ensembles sont isomorphes.
L'isomorphisme de réduction modulo $\mathfrak{m}$ étant la clef de voûte de la définition des caractères modulaires, il convient de s'assurer de son existence !

On peut donner quelques ébauches de démonstrations en commençant par noter que cet isomorphisme est bien défini car si $\zeta \in \mathbb{K}^{\times}$ alors $\zeta \in \textbf{R}^{\times}$.

• Si $\zeta \in \mathbb{K}^{\times}$ est une racine quelconque de l'unité, elle s'écrit sous la forme $\displaystyle \zeta=a\pi_{\textbf{R} }^j, a \in \textbf{R}^{\times}, j \in \mathbb{Z}$ où $a$ est une unité dans $\textbf{R}$, $\pi_{\textbf{R} }^j$ est un générateur de l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $\textbf{R}$ (i.e. $\displaystyle \mathfrak{m}=\mathfrak{m}_{\textbf{R}}=\textbf{R}\pi_{\textbf{R}}$).
Si $\zeta^t=1,\: t \geq 1$, alors $1=a^m\pi^{jt}_{\textbf{R}}$. Conclusion...

Puisque $(p,m')=1$, l'équation $x^{m'}-1$ n'a pas de racines multiples dans $k$ ! Les éléments de $\mu_{m'}(\mathbb{K})$ sont les racines du polynôme $X^{m'}-1 \in \mathbb{K}[X]$ et $\mu_{m'}(\mathbb{K}) \subseteq \textbf{R}^{\times}$.
Si $\zeta_1 \neq \zeta_2 \in \mu_{m'}(\mathbb{K})$ étaient envoyées sur un unique élément de $\mu_{m'}(k)$, alors le polynôme $X^{m'}-1 \in k[X]$ aurait un zéro de multiplicité supérieure à $1$. Mais ce polynôme est séparable aussi bien sur $\mathbb{K}[X]$ que sur $k[X]$ puisque $p$ est premier avec $m'$...

• Un autre début de démonstration: pour $\tilde{\zeta} \neq 1$ une racine $m'$-ième de l'unité dans $\mathbb{K}$, on a:

\begin{equation}
\displaystyle \frac{X^{m'}-1}{X-1}=X^{m'-1}+X^{m'-2}+...+1= \prod_{i=1}^{m'-1} \: (X-\tilde{\zeta^i}) \: \: \in \textbf{R}[X]
\end{equation}

Montrer que $1-\zeta^j$ divise $m'$ dans l'anneau de valuation $\textbf{R}$ et ce, pour tout $j=0,1,...,m'-1$.
Si $1-\zeta^j \in \mathfrak{m}$ alors $m' \in \mathfrak{m} \cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$. Ce qui contredit $(m',p)=1$.
Donc $\theta$ est injective...

L'existence de cet isomorphisme étant acquise, Il est grand temps de rappeler tous les acteurs pour la scène finale.

$\textbf{Caractères modulaires (ou de Brauer)}$

On a dans l'ordre: un nombre premier $p$, un entier $r$, un groupe fini $G$ d'exposant $m=p^rm', \: \: (p,m')=1$, son sous-groupe $G_{reg}$ d'éléments $p$-réguliers.

Mais aussi: un système $p$-modulaire de décomposition ("splitting $p$-modular system"): $(\mathbb{K}, \textbf{R}, k)$ avec $\mathbb{K}$ et $k$ "suffisamment grands" etc... Système auquel on rajoute la surjection canonique $f_{\mathfrak{m}}:\: \textbf{R} \longrightarrow k=\textbf{R}/\pi \textbf{R}$.

Sans oublier $\displaystyle \theta: \: \mu_{m'}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mu_{m'}(k)$, l'isomorphisme (induit par la projection $f_{\mathfrak{m}}$ de $\textbf{R}$ sur $k$) entre groupes multiplicatifs cycliques.
$\textbf{Rappel}$: $\mu_{m'}(\mathbb{K}) \subseteq \textbf{R}$ est d'ordre $m'$ puisque $\textbf{R}$ est un corps de décomposition pour $G$ et enfin $\mu_{m'}(k)$ est également d'ordre $m'$ puisque c'est un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ première à $m'$.

Enfin si $\zeta$ est une racine de l'unité dans $k$, on note $\tilde{\zeta}$ l'unique racine de l'unité de l'anneau $\textbf{R}$ dont elle est l'image par réduction modulo $\mathfrak{m}$ (i.e. son antécédent par l'isomorphisme $\theta$).

Avant de définir un caractère modulaire, on fixe une fois pour toute un isomorphisme réciproque de $\theta$ entre le groupe des racines $m'$-ième de l'unité dans $k^{\times}$ et les racines $m'$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{K}^{\times}=\mathbb{C}^{\times}$.

Soient maintenant $g \in G_{reg}$ un élément $p$-régulier de $G$ et $M$ un $k[G]$-module de dimension finie $n=\dim_k M$.
En restreignant $G$ à $\langle g \rangle$, l'algèbre $k[\langle g \rangle]$ devient semi-simple et se décompose en somme directe d'espaces propres.
L'action linéaire de $g$ sur $M$ envoie $g$ sur une matrice $n \times n$ de $GL_n(k)$.
Puisque l'ordre de $g$ est premier à $p$, cet endomorphisme est diagonalisable.
Chacune de ses $n$ valeurs propres $(\zeta_1, ..., \zeta_n)$ est une racine $m'$-ième de l'unité comptée avec multiplicité dans $\mu_{m'}(k)$.
On peut donc les exprimer comme $n$ puissances d'un générateur de $\mu_{\mathbb{K}}$ en les "relevant" via l'isomorphisme réciproque de la réduction modulo $\mathfrak{m}$ en des racines $m'$-ième de l'unité: $\zeta_i, \: 1\leq i \leq n$ dans $\textbf{R} \subseteq \mathbb{K}$.

Le $\textbf{caractère modulaire}$ induit par $M$, $\phi_M$, est une fonction centrale définie pour tout $g \in G_{reg}$ par

\begin{equation}
\displaystyle \phi_M(g)= \sum_{i=1}^n \theta^{-1}(\zeta_i) = \tilde{\zeta}_1+...+\tilde{\zeta}_n \: \: \in \textbf{R} \subseteq \mathbb{K}, \: \: \: \zeta_{i} \in \mu_k
\end{equation}

C'est la somme des éléments $\tilde{\zeta_i}$ de $\mathbb{K}$ dont la réduction modulo $\mathfrak{m}$ est $\zeta_i \in \mu_{m'}(k)$.
On le dit parfois "induit par la représentation $\rho$" et on le note: $\displaystyle \chi_{\rho}(g)$.
Quand le module $M$ est simple, $\phi_M$ est irréductible.

$\textbf{Note}$ La restriction du domaine de $\rho: \: \longrightarrow GL_n(K)$ au sous-groupe $G_{reg}$ est une condition nécessaire pour que la matrice $\rho_M(g)$ soit diagonalisable !
Si l'on a plus précisément un $k[G]$-module $M$ de dimension finie $n$ et un corps $k=\mathbb{F}_p$ de caractéristique $p>0$, on note $\rho_M \longrightarrow GL(n,k)$ la représentation associée dans l'ensemble des $n \times n$ matrices à coefficients dans $k$ par rapport à une $k$-base de $M$.
Alors la matrice $\rho_M(g)$ est diagonalisable sur une extension finie de $k$ si et seulement si $g$ est un élément $p$-régulier de $G$.
Les éléments diagonaux $\lambda_1, ..., \lambda_n$ sont les valeurs propres de $\rho_M(g)$, à savoir les racines du polynôme caractéristique
\begin{equation}
\displaystyle \det(\rho_M(g)-x1_M) \in k[X]
\end{equation}
$\textbf{Rappel}$: la somme de ces racines est l'application $\textbf{trace}$ de $\rho_M(g)$. Cette somme que l'on appelle le caractère de $\rho_M$ est indépendante du choix d'une base de $M$.

• Rappelons LA propriété des caractères, qu'ils soient ordinaires ou modulaires: ce sont des fonctions centrales. Elles sont constantes sur les classes de conjugaison de $G$.
Dans le cadre modulaire, ces classes sont celles des éléments $p$-réguliers.
\begin{equation}
\displaystyle \phi_E(tst^{-1})=\phi_E(s),\: \forall s \in G_{rep}, t \in G
\end{equation}
Les valeurs propres de $g^{-1} \in G_{reg}$ sur le module $M$ sont les inverses des valeurs propres de $g \in G_{reg}$ sur $M$.
Enfin, les caractères modulaires forment une base de l'espace des fonctions centrales définies sur $G_{reg}$.

$\textbf{4. Aspects historiques}$

C'est Leonard Eugene Dickson (1874-1954) qui effleura le sujet des représentations modulaires de $G$ et leurs différences de nature selon la caractéristique des corps de base. La plupart du temps, ces corps sont algébriquement clos comme $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{\overline{Q}}$. Quand ce n'est pas le cas, on étudie les comportements des représentations sur des extensions de corps qui sont des clôtures algébriques du corps de base.
Les représentations modulaires furent développées par Brauer dans le but d'obtenir des informations nouvelles sur les caractères irréductibles dans $\mathbb{C}$.
À cette occasion, il élabore ce que l'on appelle aujourd'hui les "systèmes $p$-modulaires" ainsi que la méthode phare de la théorie: la réduction modulo $p$. Elle se fait de la caractéristique $0$ à la caractéristique $p$. C'est un procédé fonctionnel qui vous rend une représentation sur un corps de caractéristique positive $p$ quand vous lui donnez une représentation sur un corps de caractéristique $0$. Les caractères modulaires ont été découvert en 1937.

Quelle est la morale de tout ça ? Je ne sais pas trop. Je dirais que maintenant, on comprend mieux pourquoi la théorie des représentations modulaires aurait dû s'appeler "théorie des représentations sur un domaine local et son corps de classe résiduel".
C'est bien peu de choses à ce stade car pour aller plus loin il aurait fallu évoquer l'aspect matriciel, tensoriel, catégorique et combinatoire.
Une prochaine fois peut-être !
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Poirot: tu as raison. C'est l'anneau de valuation $\textbf{R}$ qui est inclus dans $\mathbb{K}$ de caractéristique $0$.
Je l'ai écrit plus loin d'ailleurs: $\textbf{R} \subset \mathbb{K}$.

La rédaction était probablement trop longue et j'ai manqué de vigilance sur ce coup.
Je vais corriger ces deux erreurs.

Si tu lis le reste et que tu trouves d'autres failles: n'hésite pas à le signaler.
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Ce que je veux dire c'est que, par hypothèse, $k$ de caractéristique $p$ contient toutes les racines $m'$-ième de l'unité ( où $m'$ est la partie $p$-régulière de l'exposant de $G$.
En fait $k$ est forcément algébriquement clos puisque c'est par hypothèse un "corps de décomposition" pour $G$: c'est-à-dire qu'une représentation irréductible de $G$ sur $k$ est également irréductible sur toutes les extensions de $k$.
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ps: je n'ai pas rédigé ce post pour "faire joli". Si vous trouvez une erreur, une omission, une redondance, ou si vous avez un commentaire: je le rééditerai autant de fois que nécessaire. Je voudrais qu'au final: il soit irréprochable.
La nature du sujet m'oblige à approfondir des notions de théorie algébrique des nombres, d'algèbre commutative et d'algèbre linéaire mais j'ai bien conscience qu'on ne s'improvise pas spécialiste de ces domaines !
J'ai juste essayé d'y puiser le STRICT nécessaire à la compréhension des systèmes et des caractères modulaires. Ce qui est déjà, en soi, un défi.
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Avec plaisir ! J'y ai déjà réfléchi d'ailleurs.
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