Une application du théorème 90 de Hilbert

Soient $q$ une puissance d'un nombre premier, $\mathbb{F}_q$ le corps fini de cardinal $q$, $\mathbb{\overline{F}}_q=\bigcup_{j \geq 1}\mathbb{F}_{q^j}$, $d \geq 0$ et $m \geq 1$ des entiers.

Comment déterminer le nombre de points rationnels d’une variété projective ou affine $\mathscr{H}$ définie sur $\mathbb{F}_q$ ? Ça dépend essentiellement de la dimension de $\mathscr{H}$ et dans le cas où $\mathscr{H}$ n’est pas irréductible: du degré de ses composantes irréductibles.
En 1933, Oystein Ore donne une estimation du nombre de points $\mathbb{F}_q$-rationnels d’une hypersurface affine de degré $d$ définie sur $\mathbb{F}_q$.
Si $\mathscr{L}=Z(f)$ est l’ensemble des zéros dans $\mathbb{A}^m(\mathbb{F}_q)$ d’un polynôme non-nul $f \in \mathbb{F}_q[x_1,…,x_m]$ de degré inférieur ou égal à $d$, alors:
\begin{equation}
\displaystyle \left|\mathscr{L}(\mathbb{F}_q)\right| \leq dq^{m-1}.
\end{equation}

Un analogue projectif de cette borne a été trouvé par J.-P.Serre et A.B. Sørensen, indépendamment, en 1991, dans le cas $\mathbb{P}(1,…,1)=\mathbb{P}^m$ où tous les poids sont égaux à $1$. Pour tout polynôme homogène $F \in \mathbb{F}_q[x_0, x_1, ..., x_m]$ non nul de degré $d$, l'ensemble $\mathscr{H}(\mathbb{F}_q)=V(F)$ consistant en tous les zéros de $F$ dans l'espace projectif $\mathbb{P}^m(\mathbb{\overline{F}}_q)$ vérifie:

\begin{equation}
\displaystyle \left|V(F)\right| \leq dq^{m-1}+p_{m-2},
\end{equation}
avec $\displaystyle p^r := \left|\mathbb{P}^r(\mathbb{F}_q)\right|=q^r+q^{r-1}+...+1 \: \: \text{si} \: r\:\text{(entier)}\:>0 \: \: \text{et} \: p_r:=0 \: \: \text{si} \: r<0$.

La borne ci-dessus est triviale quand $d \geq q+1$. Si l'on note $e_q(d; m)$ le maximum de zéros $\mathbb{F}_q$-rationnels dans $\mathbb{P}^m$, tout polynôme homogène $F \in \mathbb{F}_q[x_0, x_1, ..., x_m]$ non nul de degré $d$ admet:

\begin{equation}
\displaystyle e_q(d,m)=\text{min}\{p_m, dq^{m-1}+p_{m-2}\}.
\end{equation}

La borne pour $|V(F)|$ peut-être généralisée aux espaces projectifs avec poids:

\begin{equation}
\displaystyle \mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m):= \big(\mathbb{\overline{F}}_q^{m+1} \setminus \{(0,0,0)\}\big) \big/ \sim
\end{equation}

où la relation d'équivalence $\sim$ est définie par:

\begin{equation}
\displaystyle (x_0, x_1, ..., x_m) \sim (\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1, ..., \lambda^{a_m}x_m) \: \: \: \text{pour tout}\: \: \lambda \in \overline{\mathbb{F}}^*_q.
\end{equation}

La classe d'équivalence qui lui correspond est notée $(x_0:x_1:...:x_m)$. Elle représente un "point projectif pondéré" et ce point sera "$\mathbb{F}_q$-rationnel" si $(x_0:x_1:...:x_m)=(x_0^q:x_1^q:...:x_m^q)$. Par le théorème $90$ de Hilbert, on montre que tout point $\mathbb{F}_q$-rationnel a au moins un représentant dans $\mathbb{F}_q^{m+1} \setminus \{(0,0,0)\}$. Il en a précisément $q-1$. J'ignore les détails de la démonstration mais si quelqu'un souhaite apporter des précisions sur ce point, qu'il ou elle ne se gêne pas.

On choisi $F \in S=\mathbb{F}_q[x_0,x_1,...,x_m]$, un polynôme homogène non-nul de degré $d$ où chaque $X_i$ est affecté d'un poids $a_i$ pour $0 \leq i \leq m$, de sorte que:
\begin{equation}
\displaystyle F(\lambda^{a_0}x_0, \lambda^{a_1}x_1,..., \lambda^{a_m}x_m)=\lambda^dF(x_0, x_1,...,x_m) \: \: \text{pour tout} \: \: \lambda \in \mathbb{\overline{F}^*_q}.
\end{equation}

L'objet de la conjecture est la quantité:
\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;a_0,a_1,...,a_m):= \smash{\displaystyle\max_{F \in S_d\setminus \{0\}}} |V(F)|.
\end{equation}

où $S_d$ est la partie de $S$ dans laquelle vivent les polynômes homogènes (avec poids), de degré $d$ et $V(F)$ est l'hypersurface projective composée des points $\mathbb{F}_q$-rationnels de $\mathbb{P}(a_0,a_1,...,a_m)$ en lesquels s'annule tout polynôme $F$ de $S_d$.
$S_d$ peut-être trivial pour certaines valeurs de $d$ auquel cas $e_q(d;a_0,a_1,...,a_m)$ n'est pas définie.
$e_q$ (qui n'est pas une fonction croissante du degré $d$) est bornée de la manière suivante:

$\textbf{Lemme.}$ Soit $a=\text{min}\{\text{ppcm}(a_r,a_s):\:0\leq r<s\leq m\}$ et supposons que $a$ divise $d$. Alors
\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;a_0,a_1,...,a_m) \geq \text{min} \left\{p_m, \frac{d}{a}q^{m-1}+p_{m-2} \right\}.
\end{equation}
Par exemple, pour $\mathbb{P}(a_0,a_1)$, on pose $a:=\text{ppm}(a_0,a_1)$. On montre alors que $e_q(d;a_0,a_1)=\text{min}\{p_1,d/a\}$.

Supposons enfin (pour simplifier) qu'un des poids (disons $a_0$) est égal à $1$ et que $\text{ppcm} (a_1,...,a_m)$ divise $d$.
Si $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_m$, on a la $\textbf{conjecture}$ suivante:

\begin{equation}
\displaystyle e_q(d;1, a_1, a_2,...,a_m)=\text{min}\left\{p_m, \frac{d}{a_1}q^{m-1}+p_{m-2}\right\}.
\end{equation}

https://arxiv.org/pdf/1503.03049.pdf

$\textbf{Références}$
[1] A.B. Sørensen: Rational points on hypersurfaces, Reed-Muller codes and algebraic-geometric codes, Ph. D. Thesis, Aarhus, Danemark, (1991)
[2] Serre, J.-P.: Lettre à M. Tsfasman, Journées Arithmétiques (Luminy, 1989). Astérisque No. 198-200, 351-353 (1991)
[3] Datta, M., Ghorpade, S. R.: Number of solutions of systems of homogeneous polynomial equations over finite fields, Proc. Amer. Math. Soc., 145, 525_541 (2017)
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