Loi de Benford.

Soit $K$ le quotient du groupe $(\R_+^*,\times )$ par le sous groupe $\{10^n \mid n \in \Z\}$. Le groupe compact $(K,\times)$ est "l'ensemble des nombre réels positifs écrits sans virgule" en quelque sorte.
Soit $ x \mapsto \overline x$ l'application quotient.
Soit $x\in \R_+^*$ et $i \in \{1,...,n\}$; si $A$ est une partie de $K^n$ on pose $\tau_n(i,x,A):= \{(t_1,...,t_{i-1},xt_i,t_{i+1},...,t_n) \mid (t_1,...,t_n) \in A\}$ (translaté par rapport à la $i$-ième coordonnée).

Alors il existe une unique mesure de probabilité $P_n$ sur la tribu borélienne de $K^n$ telle que pour tout $x\in \R_+^*$, tout $k \in \{1,...,n\}$ et toute partie mesurable $A$ de $K^n$, $P_n(A) = P\left ( \tau_n(i,x,A) \right )$ (hypothèse d'invariance par "changement d'unité").

Cette mesure vérifie pour tout $B\subseteq [1,10[^n$ mesurable, l'égalité $$P_n(\overline = \int_{y \in [0,1[^n } \mathbf 1_A(10^{y_1},10^{y_2}, ...,10^{y_n})dy_1 dy_2 ...dy_n = \frac{1}{\log(10)^n} \int_{x\in [1,10[^n} \frac{\mathbf 1_A (x_1,...,x_n)}{x_1x_2...x_n} dx_1dx_2 ... dx_n$$.

(En fait $t\mapsto 10^t$ est un isomorphisme de groupes topologiques entre $(\R,+)$ et $(\R_+^*,\times )$ qui envoie $\Z$ sur $\{10^n \mid n \in \Z\}$ et donc induit un isomorphisme entre $\R/\Z$ et $K$, par suite la mesure de Lebesgue s'envoie sur l'unique mesure de $K$ invariante par multiplication et c'est ce qu'on exploite ici.)

Et évidemment, la loi de Benford est un résultat asymptotique : une approximation qui marche bien pour les variables aléatoires qui ont une grande étendue.

Par exemple, ça ne doit pas du tout s'appliquer à la taille en centimètre, ou au poids en kg de la population.

Pour que ça commence à marcher, il faut faire le tour de quelques puissances de 10. (des prix $\le 1$ euro, des prix entre 1 et 10 euros, des prix $\ge 10$ euros, voire $\ge 100$...)

Si on prend la suite 1 2 4 8 16 32 ... , et qu'on regarde les 1000 premiers nombres par exemple, on constate que les nombres qui commencent par 1 sont les plus nombreux, puis on a les nombres qui commencent par 2 etc etc.
Et on aurait le même résultat avec toutes les suites $a^k$

En particulier, dans la suite $2^k$ , on est certain qu'entre $10^i$ et $10^{i+1}$, on aura exactement 1 élément qui commence par le chiffre 1, alors qu'on n'a aucune certitude d'avoir un élément commençant par 2 ni par 3 ...

lourrran écrivait:
> Et on aurait le même résultat avec toutes les suites $a^k$

Attention à $a=10^b$

Attention,

la suite $u_n = 10^n-1$ comporte des nombres qui ne commencent jamais pas 1, et 100% des chiffres sont des 9.

Cordialement.

Une chose me semble certaine : cette loi n'a pas la notoriété qu'elle mérite !

@brian. Oui. Il s'est dit cependant qu'elle est appliquée dans l'informatique pour prévoir l'espace à réserver à la répartition des données numériques sur les disques durs. Et que les administrations fiscales américaine et européennes l'utilisent pour présélectionner les dossiers qui méritent approfondissement. [ajout : sur plusieurs centaines de milliers, ou millions, de dossiers, y compris en testant la répartition des chiffres suivants].