Démonstration combinatoire de la formule de X

je me suis emmêlé les pinceaux en voulant simplifier la demo

je recommencerai plus tard

Merci jandri, je viens de corriger!


Appendice : détail de l'équivalence entre (*) et (***)

On a déjà montré que le membre de droite de (*) est $|B_n|$ et il est immédiat que c'est aussi le nombre de facteurs de $(a^2+b^2+c^2)^{3n}$ égaux à $a^{2n}b^{2n}c^{2n}$ (les autres facteurs sont en effet une lettre dont la puissance dépasse $2n+1$ et sont donc nuls modulo $I$.)

Pour l’égalité entre le membre de gauche de (*) et de celui du nombre de facteur de (***) on remarque que le membre de gauche de (***) vaut :

$(\sum_{0\leq k\leq 2n} C_{2n}^k a^{2n-k}(-b)^{k})(\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k b^{2n-k}(-c)^{k})(\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k c^{2n-k}(-a)^{k})$

$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} C_{2n}^r.a^{2n-r}.(-b)^{r}.C_{2n}^p.b^{2n-p}.(-c)^{p}.C_{2n}^q.c^{2n-q}.(-a)^{q}$
$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} C_{2n}^r.C_{2n}^p.C_{2n}^q.a^{2n-r}.(-b)^{r}.b^{2n-p}.(-c)^{p}.c^{2n-q}.(-a)^{q} $
$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} (-1)^{r+p+q} C_{2n}^r.C_{2n}^p.C_{2n}^q. a^{2n+(q-r)}.b^{2n+(r-p)}.c^{2n+(p-q)}$

Or, l'un au moins des nombre $(q-r)$, $(r-p)$ ou $(p-q)$ est strictement positif dès lors qu'il ne sont pas tous égaux, et donc modulo $I$, le membre de gauche de (***) vaut :

$=(abc)^{2n}\sum_{r\in [0,2n]} (-1)^{r} (C_{2n}^r)^3$


on a donc bien :

formule de Dixon <=> (***)

Remarque amusante :

Une démonstration analogue (quoique plus facile, car on ne s'embête pas avec les signes) montre que

$\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k)^3=(8+2)^n|P_n|$

Si bien que $\sum_{0\leq k\leq 2n} (-1)^k(C_{2n}^k)^3/\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k)^3=(-3/5)^n$

...qui l'eût cru?

nimp