Réflexions sur le théorème de Fermat
dans Arithmétique
Bonjour,
Une brève exposition (1er Octobre 2018 à Cambridge) par A. Wiles de ses travaux sur le théorème de Fermat: https://sms.cam.ac.uk/media/2837414?format=mpeg4&quality=360p
Le professeur qui a posté cette vidéo prétend que personne ne comprend la démonstration du théorème de Fermat pas même son auteur.
Ce qu'il veut dire c'est que personne ne comprend la totalité des mathématiques présentes dans cette preuve et c'est pourquoi sa vérification a été morcelée et ces vérifications mises bout à bout afin de pouvoir affirmer sans aucun doute que FLT est vrai.
A la fin de la vidéo (30') le professeur (dont j'ignore le nom) demande à Wiles si il connaît sa démonstration dans ses moindres détails. Il répond que non.
Voici un résumé de ce qu'un mathématicien doit savoir pour avoir une vision claire et synthétique du théorème de Fermat-Wiles.
...
Une brève exposition (1er Octobre 2018 à Cambridge) par A. Wiles de ses travaux sur le théorème de Fermat: https://sms.cam.ac.uk/media/2837414?format=mpeg4&quality=360p
Le professeur qui a posté cette vidéo prétend que personne ne comprend la démonstration du théorème de Fermat pas même son auteur.
Ce qu'il veut dire c'est que personne ne comprend la totalité des mathématiques présentes dans cette preuve et c'est pourquoi sa vérification a été morcelée et ces vérifications mises bout à bout afin de pouvoir affirmer sans aucun doute que FLT est vrai.
A la fin de la vidéo (30') le professeur (dont j'ignore le nom) demande à Wiles si il connaît sa démonstration dans ses moindres détails. Il répond que non.
Voici un résumé de ce qu'un mathématicien doit savoir pour avoir une vision claire et synthétique du théorème de Fermat-Wiles.
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Réponses
C'est ce que tout le monde fait je pense.
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Annals of Mathematics, 141 (1995), 443-552
Modular elliptic curves
and
Fermat’s Last Theorem
By Andrew John Wiles
C'est un pdf de 109 pages disponible sur le net.
https://www.jstor.org/stable/2118559
NB: c'est un article de recherche qui fait plus de 100 pages. Autant dire que cela n'est pas censé être pédagogique et que cela n'a pas été écrit pour le tout venant. Pour comprendre ce truc il faudrait surement 20 ou 30 ans d'étude sérieuse pour un doctorant. :-D
Voir aussi:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-1974-3
Il me semble que c'est tout le contraire, non ? Le théorème de Fermat en lui-même n'a que peu d'importance. Qui cela intéresse de savoir qu'une équation diophantienne particulière n'a pas de solution ? Au contraire, construire et comprendre des outils généraux a une portée bien plus grande, et c'est là où réside l'intérêt il me semble. (Cela dit, je ne parle pas du théorème de Fermat spécifiquement : ce n'est pas du tout mon domaine).
Bonne journée.
Fr. Ch.
Est ce qu'une personne, parmi les intervenants de ce fil, a déjà pris un exemple d'une courbe elliptique rationnelle et l'a uniformisé de manière explicite par le demi-plan de Poincaré ?
Est ce qu'il n'y a pas une énorme différence entre comprendre un énoncé et en comprendre sa preuve ? Pourquoi ne pas vouloir comprendre ce que dit le résultat sans pour autant en comprendre la preuve hors de portée.
Au fait, il dit quoi ce résultat que vous évoquez ? Dit autrement : vous parlez de quoi ?
Et la fameuse machine EDSAC-2 avec laquelle Birch et Swninnerton-Dyer, en 1963, vont mettre au point leur fameuse conjecture, est ce que ce n'est pas remarquable ?
J'ai essayé de répertorier sur une seule page de la démonstration de Wiles, le nombre de concepts différents qui y apparaissent.
Peut-être ne sont-ils pas si différents après tout ? Je ne suis pas apte à en juger.
Bref, sur une page prise au hasard, j'ai relevé ceci: kernel of a principal ideal - absolute Galois group - deformation theory - Kummer theory - Artinian local ring - finite flat group schemes - continuous representation theory - cocycles - cohomology class - free A-modules - p-adic completion - finite unramified extensions - complete local Noetherian ring - cyclotomic extensions ! Ça fait pas mal de savoirs et de méthodes à assimiler pour décrypter une page sur 108. En plus, les principaux outils analytiques de la théorie n'y figurent presque pas.
Enfin, quand je parlais de s'accommoder du théorème de "Fermat-Wiles", je me situais au niveau du terroir. J'avais en tête une photo qui m'avait marqué. Elle montre Wiles en grande discussion avec les habitants de Beaumont-de-Lomagnes, le village où est né Fermat. Une personne âgée demande à Wiles: "Alors, il est démontré ce théorème ?".
J'ai trouvé formidable cet engouement populaire (teinté de chauvinisme ?) de la part de personnes qui n'ont jamais entendu parler des formes automorphes.
Bien sûr, on ne peut pas se satisfaire de la moindre forme d'ignorance ou de passivité intellectuelle.
Il faut pourtant se rendre à l'évidence: je ne comprendrai jamais la preuve de Fermat-Wiles mais je suis satisfait de savoir que ce monument de l'esprit humain existe et qu'il apporte de nouvelles questions profondes.
Car rien ne serait plus déprimant que d'avoir fait le tour d'une théorie.
...
Dans ton dernier post, il figure au moins deux fois le mot ``preuve''. Mais qui dit preuve sous-entend énoncé. De quel énoncé parles tu ? J'espère que ce n'est pas : pour $n \ge 3$, l'équation $x^n + y^n = z^n$ en nombres entiers n'a que des solutions triviales.
Personne ne peut humainement vérifier tous les résultats sur lequel s'appuie la démonstration, on est obligé de "faire confiance" à des papiers, qui eux-même s'appuient sur d'autres, etc. Il y a aussi de nombreux résultats qui sont "bien connus des experts" mais qui n'ont jamais été vraiment publiés (au passage ça rend l'accès à certains domaines des maths assez difficiles quand personne ne prend la peine d'écrire des bouquins avec des détails...).
Bref, beaucoup de résultats sont utilisés en mode "boites noires", ce qui peut laisser un doute sur le fait qu'il puisse y avoir des erreurs qui traînent. Un moyen de palier cela est de faire appel à des vérificateurs de preuves (proof assistants), mais selon le problème, c'est plus ou moins envisageable (l'analyse s'y prête mal) et de toute manière ça demande un travail titanesque, qui ne sera pas très rewarding pour celles et ceux qui s'y collent... A voir comment ça évolue dans les prochaines années, mais on est encore loin du compte.
Théorème de Wiles: toute courbe elliptique semi-stable définie sur $\mathbb{Q}$ est une courbe de Weil.
...
http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/
qui a lancé le projet de faire vérifier la preuve de Fermat par un ordinateur. C'est un projet pharaonesque et personne ne sait quand il aboutira. Il s'agit d'implémenter dans un logiciel de preuve formelle toutes les mathématiques au soubassement des travaux de Wiles.
La situation est ici très différente de celle de la preuve de Feit-Thomson ou des quatre couleurs. En effet Wiles s'appuie sur de siècles de sophistications mathématiques qui n'ont pas encore été implémentées sur des logiciels de preuves formelles : géométrie algébrique, cohomologie étale, analyse harmonique sur les groupes adéliques et p-adiques, programme de Langlands, théorie analytique des nombres, théorie algébriques des nombres, théorie des déformations etc. etc.
Si personne ne maîtrise la preuve de Fermat, ça n'est pas dû à sa longueur en elle-même comme dans Feit-Thomson ou les quatre couleurs, mais à l'empilement de mathématiques profondes et difficiles. Personne ne peut maîtriser autant de spécialités différentes simultanément. C'est du moins ce que Buzzard ose dire publiquement.
Peut -être que tu devrais donner un exemple, histoire que l'on voit un peu ce que raconte "la version paramétrage modulaire". Hum au hasard ?
$$
y^2+y = x^3-x^2-10x-20
$$
sage: phi = EllipticCurve('11a1').modular_parametrization() sage: phi Modular parameterization from the upper half plane to Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field sage: X,Y= phi.power_series(prec = 11) sage: X q^-2 + 2*q^-1 + 4 + 5*q + 8*q^2 + q^3 + 7*q^4 - 11*q^5 + 10*q^6 - 12*q^7 - 18*q^8 + O(q^9) sage: Y -q^-3 - 3*q^-2 - 7*q^-1 - 13 - 17*q - 26*q^2 - 19*q^3 - 37*q^4 + 15*q^5 + 16*q^6 + 67*q^7 + O(q^8) sage: E = phi.curve() sage: E.modular_form() q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + O(q^6)La dernière commande, c'est la forme modulaire associée à $E$ qui provient du comptage des points modulo $p$. C'est le plus simple à comprendre (enfin la définition) ! Ensuite le paramétrage modulaire, hum hum, bah je n'y connais rien moi, mais chez "sage", ils sont balèze avec ces histoires !1. Je t'assure que l'obtention du paramétrage modulaire à partir de la forme modulaire et du paramétrage de Weierstrass, ce n'est pas si compliqué. Sauf qu'il faudrait prendre le temps d'en causer, ce que l'on n'a pas encore fait. Quand je dis ``pas si compliqué'', j'exagère un tantinet car à une certaine époque, je ne comprenais pas grand chose (= je ne comprenais rien) à un machin qui s'appelle la constante de Manin.
2. Dans un fil d'arithmétique avec Gai-Requin (j'ai la flemme de pointer et de plus on marche sur un fil de Bill et Boole), j'ai fait le contraire : en utilisant des identités d'Euler et Jacobi, j'ai ``uniformisé au sens hyperbolique'' la courbe de Fermat de niveau 3 i.e. $F_3 : x^3 + y^3 + z^3 = 0$ en la laissant sous son modèle cubique bien symétrique i.e. sans la mettre sous forme de Weirstrass. C'est très très instructif de déterminer la forme modulaire à partir de la paramétrisation : il faut prendre le pull-back de la forme différentielle de la courbe ...etc.. Encore une fois, il faudrait prendre le temps de ... Rien à voir avec les mathématiques sophistiquées dont parlent certains ici. De plus, une fois obtenue la forme modulaire, il y a plein de choses à raconter sur le nombre de points de $x^3 + y^3 + z^3 = 0 \pmod p$ : un joli résultat de Gauss, lié au fait que la courbe elliptique $F_3$ est à multiplication complexe par $\Z[j]$.
Note : la courbe de Fermat de niveau 3, c'est la courbe modulaire $X_0(27)$. Je n'ose pas te dire le temps que j'ai passé sur cette histoire mais cela m'a permis de comprendre un certain nombre de choses. Et également de comprendre que je n'en comprenais qu'une infirme partie.
3. Je te fais un exemple du point 1 avec la courbe elliptique de ton exemple. Ce sont MES affaires qui tournent pas les primitives de magma. D'abord les 3 courbes elliptiques de conducteur 11. Là c'est magma qui tourne. Ou plutôt la base de données de Cremona.
[color=#000000]> EllipticCurves(CremonaDatabase(), 11) ; [ Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field, Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 7820*x - 263580 over Rational Field, Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 over Rational Field ] > E := EllipticCurve("11a1") ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field [/color]Pour moi : dans l'ordre, $\text{11a1} = X_0(11)$, 11a2, $\text{11a3} = X_1(11)$. Maintenant mes affaires :[color=#000000]> load "TaniyamaWeil.magma" ; Loading "TaniyamaWeil.magma" > time x,y := Explode(HyperbolicUniformization(E,precision)) where precision is 20 ; Time: 0.070 > x ; q^-2 + 2*q^-1 + 4 + 5*q + 8*q^2 + q^3 + 7*q^4 - 11*q^5 + 10*q^6 - 12*q^7 - 18*q^8 - 22*q^9 + 26*q^10 - 11*q^11 + 41*q^12 + 44*q^13 - 15*q^14 + 25*q^15 - 66*q^16 + 54*q^17 - 710/21*q^18 - 10134/77*q^19 + O(q^20) > y ; -q^-3 - 3*q^-2 - 7*q^-1 - 13 - 17*q - 26*q^2 - 19*q^3 - 37*q^4 + 15*q^5 + 16*q^6 + 67*q^7 + 6*q^8 + 144*q^9 - 92*q^10 + 66*q^11 - 119*q^12 - 95*q^13 - 247*q^14 - 285*q^15 - 70*q^16 + 3372/7*q^17 + 33659/77*q^18 - 616397/5313*q^19 + O(q^20) > y^2 + y - (x^3 - x^2 - 10*x - 20) ; O(q^16) [/color]Si j'ai pu le faire alors que ce n'est pas mon métier, c'est que ce n'est pas si compliqué que cela, non ?PS : il faudrait que je retrouve ce que Serre était capable de faire avec sa calculette. Mais peut-être que j'exagère ou je me trompe ? Un extrait de ``Sur les représentations modulaires de degré 2 de $\text{Gal}(\overline\Q/\Q)$'' in http://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL5835292064138487263_Serre_Repr.modulaires_Galois.pdf. Mestre a réalisé des vérifications.
$$
f(q) = q \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{3n})^2 \prod_{n=1}^\infty (1 - q^{9n})^2 = \sum_{n=1}^\infty t_n q^n \quad \hbox {avec } t_1 = 1
\qquad\qquad\qquad
f(q) = \eta(q^3)^2 \eta(q^9)^2
$$
Je te demande de me croire sur parole, cette série, initialement sous forme de produit, provient du demi-plan de Poincaré. Pour faire simple, c'est une espèce d'objet analytique, ``de la caractéristique 0'', qui n'a, a priori rien à voir avec le monde modulo $p$. T'occupes pas de ce qui est à droite, c'est pour ceux qui savent. Histoire de faire peur aux enfants, on dit que $f$ est une forme modulaire de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(27)$, un certain sous-groupe de $\text{PSL}_2(\Z)$, mais laisse béton.
[color=#000000]> PSR<q> := PuiseuxSeriesRing(RationalField()) ; > AssertAttribute(PSR, "Precision", 10^2) ; > f := DedekindEta(q^3)^2 * DedekindEta(q^9)^2 ; > f ; q - 2*q^4 - q^7 + 5*q^13 + 4*q^16 - 7*q^19 - 5*q^25 + 2*q^28 - 4*q^31 + 11*q^37 + 8*q^43 - 6*q^49 - 10*q^52 - q^61 - 8*q^64 + 5*q^67 - 7*q^73 + 14*q^76 + 17*q^79 - 5*q^91 - 19*q^97 + 10*q^100 - 13*q^103 + O(q^104) [/color]Il s'agit simplement de regarder les coefficients de $q^p$, $p$ premier, ce que j'ai noté $t_p$. Par exemple $t_{31} = -4$.Donc, a priori, $f$ n'a rien à voir avec du comptage modulo $p$. Sauf que. En fait, elle intègre dans son coeur, TOUS les comptages modulo $p$ de $x^3 + y^3 + z^3 = 0 \bmod p$. Je note $F_3 : x^3 + y^3 + z^3 = 0$ la courbe de Fermat de niveau 3 (c'est une courbe elliptique, en fait) que l'on va examiner modulo $p$. En passant, cette courbe n'a pas de points entiers autres que ceux pour lesquels une coordonnée est nulle. Donc rien à voir de ce côté là.
On va prendre les premiers $\le 10^2$ et regarder le cardinal $\#F_3(\F_p)$, nombre de points de la courbe modulo $p$. Ou plutôt $p + 1 - \#F_3(\F_p)$. Je prends par exemple $p = 13$ : Vois tu quelque chose en rapport avec $f$ ? Et là ?
Bon, c'est Dimanche, il ne faut pas trop se fatiguer. Je vais fabriquer une série avec ce comptage histoire de voir plus facilement. Vu ?
En exagérant beaucoup, beaucoup, en simplifiant au maximum, c'est ce qui est prédit par l'ex-conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Dans le cas particulier de la courbe elliptique $F_3$.
Réponse définitive.
...
Qu'est-ce que $f$ ? Est-ce la fonction Dedekind eta ? Un exemple de forme modulaire ? Le fait que $18+6=24$ me fait dire que c'est bien elle $(\Delta(q)^{24})$.
...
...
...
$\bullet$ Oui, en première approximation, $f$ est une forme modulaire de poids 2 relativement au groupe $\Gamma_0(27)$. Pour être plus exact, $f$ est le développement en série en $q = 0$ de la forme modulaire, mais ne chipotons pas. Et $N = 27$ c'est le conducteur de la courbe elliptique $x^3 + y^3 + z^3 = 0$, point base $(1: -1 : 0)$. La notion de conducteur n'est pas simple à définir, j'en suis incapable. On peut juste remarquer que sur $\F_p$, la courbe $x^3 + y^2 + z^3 = 0$ reste lisse, SAUF pour $p = 3$. Pour $p=3$, $x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3$ dans $\F_p[x,y,z]$ et donc il se passe quelque chose.
$\bullet$ $f$ n'est pas la fonction $\eta$ de Dedekind mais elle est construite à partir de puisque $f(q) = \eta(q^3)^2 \eta(q^9)^2$ comme je l'ai mentionné.
1. Un truc facile sur les $t_p := p+1 - \#F_3(\F_p)$ pour $p \equiv 2 \bmod 3$. Que remarque-t-on ? Tu pourrais le prouver si tu voulais.
2. Dans la série devinette : voit-on un lien entre $t_n, t_m, t_{nm}$ lorsque $n \wedge m = 1$ ?
pour une fois, la marge était assez grande !
Cordialement.
df, vous dites :
"Elle montre Wiles en grande discussion avec les habitants de Beaumont-de-Lomagnes, le village où est né Fermat. Une personne âgée demande à Wiles: "Alors, il est démontré ce théorème ?".
J'ai trouvé formidable cet engouement populaire (teinté de chauvinisme ?) de la part de personnes qui n'ont jamais entendu parler des formes automorphes."
Je ne suis pas d'accord. Vous supposez que ces personnes âgées n'ont jamais entendu parler de formes automorphes. Moi, je prétends le contraire. Et je sais pertinemment que ma position puisse être tenue pour intenable, mais je la tiens. Car je suis né dans un milieu paysan hautement sophistiqué - je ne parle pas de machinisme agricole, mais bien de génie humain issu de la terre - et je dis que ce génie peut donner naissance à de puissantes idées mathématiques. Évidemment la connaissance de ces formes n'est pas parfaitement claire pour ces personnes âgées, mais elles en ont usées quotidiennement sans le savoir, soyez-en sûr.
Vous df, vous isolez Fermat de son environnement initial et vous supposez que cet environnement n'entretient aucune relation avec ses idées. Je vous aurais bien demandé de quel droit vous dites cela, mais je sais bien que vous n'avez même pas conscience de votre transgression.
Le théorème de Fermat est né à Beaumont-de-Lomagnes - et si vous voulez mon avis c'est bien pour ça qu'Andrew Wiles y est allé, son impossibilité à comprendre la totalité de la preuve l'ayant très certainement éclairé à ce sujet - et le grand âge des autres personnes de la photo renvoie directement à la sagesse du Maître.
Andrew devait rendre des comptes.
@Gerard0: En effet ! En bon lecteur de "Pour la science", je ne rate jamais les billets de Didier Nordon. Lui qui avait osé affirmer que "les mathématiques pures n'existent pas".
...
Pourquoi "Andrew" devrait-il rendre des comptes ? J'ai pas compris.
...
...
J'ai vu qu'il y a une relation entre le paramétrage $X$ et $Y$ et la forme modulaire : une équation différentielle, il me semble que tu as déjà fait un truc avec des intégrales (je m'en souviens car c'est pas souvent que tu utilises des intégrales :-D) mais ce n'était pas (il me semble) pour obtenir $X$ et $Y$.
Ps / quand tu dis ce n'est pas trop compliqué, hum hum :-D
@df : Un petit exercice. Soit $G$ un groupe abélien fini dont le cardinal est noté $\# G$ et la loi multiplicativement..Soit $k$ un entier premier à $\#G$. Alors l'application de $G$ dans $G$ donnée par $x \mapsto x^k$ est bijective. Si j'y vois clair, ça dois avoir un petit rapport avec les choses de Claude !
J'ai un peu relu le fil. Oui, pauvres nous autres (en tout cas mézigue), on ne comprendra jamais la preuve de ... Mais du coup (je vais me répéter) on peut peut-être chercher à en savoir plus sur ce que dit l'énoncé. Ce qui est sûr : il dit des choses concernant le nombre de solutions modulo $p$ d'une courbe elliptique rationnelle. Mais pas que. Et certains aspects (je dis bien certains) peuvent être abordés. Mais attention, cela risque de nous mettre la tête dans le guidon avec des objets assez simples. Tête dans le guidon et mains dans le cambouis, en général, on n'aime pas trop.
$\bullet$ Je vais prendre l'exemple de $E : y^2 + y = x^3 - x^2$. C'est une courbe elliptique cousine de l'exemple de Goleon. Et il va être question de la réduire modulo $p$. D'abord, $p=11$ est un premier particulier car la courbe devient singulière sur $\F_p$. Comment trouve-t-on ce $p$ ? On écrit l'équation sous forme $Y^2 = G(X)$ et on examine le discriminant du polynôme cubique $G(X)$.
Ensuite, on peut chercher les points singuliers modulo 11 de $E$. Pour cela, on examine les dérivées partielles en $x,y$ de $F(x,y) = y^2 + y -(x^3-x^2)$. Et on finit par tomber sur $(x_0 = -3, y_0=5)$. Un changement de variables pour déplacer $(x_0,y_0)$ en l'origine i.e. $x = X+x_0$, $y = Y+y_0$ nous conduit à $Y^2 = X^3 + X^2$ que l'on écrit :
$$
(Y - X) (Y + X) = X^3
$$ En $(X=0, Y=0)$, il s'agit d'une singularité de type ``node'' (noeud) ou encore ``Split multiplicative'' (multiplicatif scindé) parce qu'a gauche, on voit deux tangentes distinctes définies sur le corps de base $\F_{11}$. Il paraît que ce type de réduction ce n'est pas méchant. En tout cas, moins méchant que la réduction de type ``cusp'' (pointe, additive). En passant, on dit que la courbe $E$ est semi-stable.
[color=#000000]> E := EllipticCurve("11a3") ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 over Rational Field > ReductionType(E,11) ; Split multiplicative [/color]$\bullet$ Maintenant, plus questions de faire les calculs à main. On va ``uniformiser'' $E$ par le demi-plan de Poincaré $\H$, en explicitant un paramétrage $x = x(q), y = y(q)$ où il faut savoir en fait que $q$ est la variable du disque unité $\D : |q| < 1$ et que $q = e^{2i\pi\tau}$, $\tau$ variant dans $\H$. Mais ici, $q$ est vu comme une indéterminée. Cette uniformisation est radicalement différente de celle qui consiste à écrire $E = \C/\Lambda$ où $\Lambda$ est un réseau de $\C$. Il faut comprendre que $x,y$ sont des fonctions invariantes par un certain sous-groupe $\Gamma_0(11)$ de $\text{PSL}2(\Z)$. Note : la courbe $E = 11a_3$ est de conducteur 11 car j'ai été la poicher dans la liste des 3 courbes elliptiques rationnelles de conducteur 11.$\bullet$ Mais maintenant, on voudrait bien voir le Graal : la fameuse forme modulaire de poids 2 pour $\Gamma_0(11)$, qui, lorsqu'on l'écrit $\sum_{n \ge 1} t_nq^n$, compte le nombre de solutions modulo $p$ de $E$ via $t_p = p+1 - \#E(\F_p)$. Ce Graal n'est pas une fonction mais une forme différentielle. Et du coup, pour mettre la main dessus, on va faire un peu de calcul différentiel (ollé-ollé ?). Rappel : tête dans le guidon, mains dans le cambouis, pieds dans la ... En ce qui concerne les différentielles, j'aime bien la phrase du grand géomètre Abhyankar, que j'ai déjà citée sur le forum : ``So what are differentials? Nobody really knows. Perhaps that is why they are so useful'' Allons-y
$$
y^2 + y = x^3 -x \ \Rightarrow\
(2y + 1) dy = (3x^2 - 2x)dx \ \Rightarrow\
{dy \over 3x^2 -2x} = {dx \over 2y+1} \qquad\qquad
q = e^{2i\pi\tau} \ \Rightarrow\ dq = 2i\pi e^{2i\pi\tau} d\tau = q \times (2i\pi d\tau)
$$
Comme $2i\pi d\tau$ est la différentielle de référence sur $\H$ (que je dis), on va se faire une petite fonction de dérivation $D$ sur les $q$-séries en multipliant par $q$ la dérivée habituelle de la série.
[color=#000000]> D := func < qSerie | q*Derivative(qSerie) > ; > f1 := D(y) / (3*x^2 - 2*x) ; > f1 + O(q^50) ; q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 - 2*q^10 + q^11 - 2*q^12 + 4*q^13 + 4*q^14 - q^15 - 4*q^16 - 2*q^17 + 4*q^18 + 2*q^20 + 2*q^21 - 2*q^22 - q^23 - 4*q^25 - 8*q^26 + 5*q^27 - 4*q^28 + 2*q^30 + 7*q^31 + 8*q^32 - q^33 + 4*q^34 - 2*q^35 - 4*q^36 + 3*q^37 - 4*q^39 - 8*q^41 - 4*q^42 - 6*q^43 + 2*q^44 - 2*q^45 + 2*q^46 + 8*q^47 + 4*q^48 - 3*q^49 + O(q^50) > > f2 := D(x) / (2*y + 1) ; > f2 - f1 ; O(q^63) [/color]On a calculé le Graal de deux manières différentes (mais qui donnent le même résultat). Tu pourras vérifier $t_{nm} = t_nt_m$ lorsque $n \wedge m = 1$. Et à l'aide d'une petite calculette vérifier le nombre de points modulo $p$ pour $p$ petit.Et il se trouve, ce n'est pas tous les jours que cela arrive, qu'il y a $\eta$-produit qui fait le job du Graal.
$$
f_3(q) = q \prod_{n=1} (1-q^n)^2 \prod_{n=1} (1-q^{11n})^2
$$ $\bullet$ En guise de conclusion : que faire en face de l'immensité de la preuve que l'on ne pourra probablement jamais comprendre nous autres ? Pleurer, se lamenter ? Ben, on peut toujours jouer. Le Dimanche, prendre une courbe elliptique rationnelle $y^2 = x^3 + ax + b$ avec $a,b$ entiers par exemple, compter, et s'émerveiller.
Mais comme c'est fastidieux, il suffit de fouiller à droite à gauche, par exemple chez les anciens (Euler, Jacobi, ...), chez les moins anciens, au hasard Don Zagier, McKean & Moll (Elliptic Curves) ..etc.. pour trouver des EXEMPLES. En fait, il y en a partout en cherchant bien. Pas étonnnant, les formes modulaires ont envahi l'arithmétique depuis les années 1960-1970, cf par exemple ``Vers une Arithmétique Nouvelle'' de Yves Hellegouarch.
Dans mon exemple : Pour récupérer la forme modulaire a partir du paramétrage :
$$
f(q) = \frac{D(X)}{2Y+1} = q - 2q^2 - q^3 + 2q^4 + q^5 + 2q^6 - 2q^7 - 2q^9 + \dots
$$
...
@df Quitte à être casse-pieds, j'illustre ce que j'ai dit : trouver des petits trésors à droite à gauche (tout le CONTRAIRE des articles que tu as pointé !) Par exemple à la fin de l'article de Tate in http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/ta/tate.pdf, figure le résultat de Gauss concernant le nombre de points modulo $p$ de $x^3 + y^3 + z^3 = 0$. TOUT LE MONDE peut comprendre l'énoncé, je dis bien l'énoncé. Regarde la notation $t_p$ et le $p+1-t_p$ ($t_p$ c'est pour trace, trace du Frobenius).
$\bullet$ Du coup, cela me donne envie de reprendre le paramétrage $x = x(q), y = y(q), z=z(q)$ de $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ par le demi-plan de Poincaré que j'ai explicité l'autre jour dans un autre post (il y a des formules explicites dûes à Euler et Jacobi) $\bullet$ Mais voilà que surgit le problème terre à terre (tête dans le guidon, mais dans le cambouis, pieds dans la ...) : différentielle sur la courbe $F(x,y,z) = 0$ où $F$ est une cubique, comment on fait ?? Ici $F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3$. Euler, coup de $d$, produit vectoriel et ollé-ollé :
$$
F(x,y,z) = 0 \ \Rightarrow\ x{\partial F \over \partial x} + y{\partial F \over \partial y} + z{\partial F \over \partial z} = 0, \quad
dx\ {\partial F \over \partial x} + dy\ {\partial F \over \partial y} + dz\ {\partial F \over \partial z} = 0
\quad \buildrel {\rm rires} \over \Longrightarrow \
\left[ \matrix {\partial F / \partial x \cr \partial F / \partial y \cr \partial F / \partial z }\right] \sim
\left[ \matrix {x \cr y \cr z }\right] \wedge
\left[ \matrix {dx \cr dy \cr dz }\right] = \left[ \matrix {ydz - zdy \cr -(xdz - zdx) \cr xdy - ydx }\right]
$$Et donc puisque les vecteurs sont proportionnels (le $\sim$) , on a l'égalité
$$
\omega := {ydz - zdy \over \partial F / \partial x} = -{xdz - zdx \over \partial F / \partial y} = {xdy - ydx \over \partial F / \partial z}
$$La voilà la différentielle sur la courbe $F = 0$. Note : elle est bien projectivement définie i.e. invariante par $(x,y,z) \mapsto (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ car $F$ est de degré 3 donc les différentielles de degré 2.
$\bullet$ J'ai bu ? Pas du tout.
[color=#000000]> F := X^3 + Y^3 + Z^3 ; > Evaluate(F, [x,y,z]) ; O(q^101) > > D := func < qSerie | q*Derivative(qSerie) > ; // Coucou Goleon > xDifferentialTrick := func < F, x,y,z | (y*D(z) - z*D(y)) / Evaluate(Derivative(F,1), [x,y,z]) > ; > yDifferentialTrick := func < F, x,y,z | - (x*D(z) - z*D(x)) / Evaluate(Derivative(F,2), [x,y,z]) > ; > zDifferentialTrick := func < F, x,y,z | (x*D(y) - y*D(x)) / Evaluate(Derivative(F,3), [x,y,z]) > ; > > f1 := xDifferentialTrick(F, x,y,z) ; > f1 ; q - 2*q^4 - q^7 + 5*q^13 + 4*q^16 - 7*q^19 - 5*q^25 + 2*q^28 - 4*q^31 + 11*q^37 + 8*q^43 - 6*q^49 - 10*q^52 - q^61 - 8*q^64 + 5*q^67 - 7*q^73 + 14*q^76 + 17*q^79 - 5*q^91 - 19*q^97 + O(q^99) > > f2 := yDifferentialTrick(F, x,y,z) ; > f2 + O(q^50) ; q - 2*q^4 - q^7 + 5*q^13 + 4*q^16 - 7*q^19 - 5*q^25 + 2*q^28 - 4*q^31 + 11*q^37 + 8*q^43 - 6*q^49 + O(q^50) > f3 := zDifferentialTrick(F, x,y,z) ; > f3 + O(q^50) ; q - 2*q^4 - q^7 + 5*q^13 + 4*q^16 - 7*q^19 - 5*q^25 + 2*q^28 - 4*q^31 + 11*q^37 + 8*q^43 - 6*q^49 + O(q^50) [/color]Et la courbe $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ est isomorphe à $y^2 - y = x^3 - 7$ (c'est écrit dans Tate avec les changements de variables explicites). Et aussi isomorphe, via $y \leftrightarrow -y$, (ci-dessous) à $y^2 + y = x^3 -7$ :[color=#000000]> E := EllipticCurve("27a1") ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - 7 over Rational Field > > f := ModularForm(E) ; > f ; q - 2*q^4 - q^7 + O(q^12) > qExpansion(f,50) ; q - 2*q^4 - q^7 + 5*q^13 + 4*q^16 - 7*q^19 - 5*q^25 + 2*q^28 - 4*q^31 + 11*q^37 + 8*q^43 - 6*q^49 + O(q^50) [/color]Petit trésor, quand tu me tiens.1. Pour un premier $p$, si $p \equiv 2 \pmod 3$, il y a $p$ cubes distincts modulo $p$. Autrement dit: tout nombre modulo $p$ possède un unique cube.
On choisit $a \in \{1,2,...,p-1\}$ et $k \in \{0,1,..., p-2\}$ vérifiant $g^k \equiv a \pmod p$.
Puisque $(3,p-1)=1$, il y a des entiers $x'$, $y'$ tels que $3x'+(p-1)y'=1$ (Bézout). Si on pose $x=x'k$ et $y=y'k$, on peut écrire $3x+(p-1)y=k$.
Sachant que $g^{p-1} \equiv 1 \pmod p$, on trouve
\begin{equation}
\displaystyle a \equiv g^k=g^{(3x+(p-1)y)}=(g^x)^3(g^{p-1})^y \equiv (g^x)^3 \pmod p
\end{equation}
Donc $a$ est un cube modulo $p$. Avec $0 \equiv 0^3 \pmod p$, cela fait $p$ cube modulo $p$.
On voit facilement en prenant $p=11$ que tous les éléments de $\mathbb{F}_{11}$ sont des cubes modulo $11$.
Mais comment fait-on pour compter $p+1$ solutions ? Dans tous les cas, je n'en trouve que $p$
2. Quand on traite l'équation $x^3+y^3+z^3=0$ (modulo $p$), est-ce qu'on fait passer $y^3$ et $z^3$ dans le membre de droite ?
Dans ce cas, on a des signes $-$ à droite. Comment on s'en débarrasse ? Désolé (vraiment !) pour la naïveté de cette question.
3. L'application inverse de $x \mapsto x^3$ est $x \mapsto x^{\frac{1}{3}}$.
Je me demandais quelle était l'application inverse de $x \mapsto x^p$ appliquée à $\mathbb{F}_{p^m}, \: m \geq 1$.
Tout $x$ dans la clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$ vérifie $x^{p^m}=x$. L'inverse est alors $x \mapsto x^{p^{m-1}}$.
...
C'était quelque chose comme:
\begin{equation}
\displaystyle \text{tr}\: A_p \equiv a_p \pmod {\mathscr{l}}
\end{equation}
avec $a_p:= p+1 - \# E_p( \mathbb{F}_p)$ et $A_p=\rho(\text{Frob}_p) \in GL_2(\mathbb{Z}/\mathscr{l}\mathbb{Z})$; l'image par la représentation galoisienne $\rho$ de l'élément de Frobenius de $\text{Gal}(K/Q)$...
Je m'arrête là: sauf si bien sûr tu veux préciser ces notions. Je suis aussi tombé sur des approches plus accessibles de cette égalité qui s'appuyaient sur l'étude de l'endomorphisme de Frobenius. Je planche un peu là-dessus.
...
$\bullet$ Tout d'abord, les solutions, on les cherche dans $\P^2(\F_p)$, bien entendu. Petit joueur, je fais $p = 2$ (pour lequel $x \mapsto x^3$ est l'iidentité de $\F_2$) et j'en VOIS exactement $3 = p+1$:
$$
(1 : 1 : 0), \qquad (0 : 1 : 1), \qquad (1 : 0 : 1)
$$Diable, comment fais tu pour n'en compter que $p$ ?
$\bullet$ Passer dans l'intervalle $\{0 .. p-1\}$ ou je ne sais trop quoi n'est PAS productif. Je reprends une partie de tes affaires mais je note $u$ au lieu de $x'$. On a donc $3u \equiv 1 \bmod (p-1)$ (ce qui est, bien entendu, dû au fait que $3$ ne divise pas $p-1$ donc est inversible modulo $p-1$, d'inverse $u$). De sorte que dans $\F_p$ :
$$
(x^3)^u = (x^u)^3 = x \qquad\qquad \forall x \in \F_p
$$Cela dit que $x \mapsto x^u$ et $x \mapsto x^3$ sont réciproques l'une de l'autre.
Note : quand tu dis que $x \mapsto x^{1/3}$ est l'application réciproque de $x \mapsto x^3$, c'est pour plaisanter ? Me faire marcher ? L'apéro, c'est encore trop tôt.
$\bullet$ Nombre de points de la droite $X + Y + Z = 0$ de $\P^2(\F_p)$ ? Plus simple : dans $\P^1(\F_p)$, combien d'habitants ? Et pourquoi pas au dessus de $\F_q$, corps fini quelconque, $p \equiv 2 \bmod 3$, n'ayant plus rien à faire dans l'histoire de ce point.
$\bullet$ Tête dans le guidon, mains dans le cambouis ...etc... Est ce que ce n'est pas cela qui fait vraiment mal ?
...
Si tu veux apporter des précisions ou des exemples: je ne dis pas non !
$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_p)$ contient $p^2+p+1$ points et la droite $X+Y+Z=0$ contient $p+1$ points.
ps: pour compter les points de $X+Y+Z=0$, on considère les points non-nuls de $\mathbb{P}^2$ et on cherche les classes d'équivalence de ces points puisqu'une droite projective, c'est une réunion de classes d'équivalence. Je traite un exemple mais j'avoue que c'est assez fastidieux.
...
Je relis ton post sur la différentielle sur la courbe $F$. J'aurai peut-être des questions là aussi...
J'ignorais l'existence des travaux de Gauss concernant le cas $p \equiv 1 \pmod 3$.
Il a démontré dans les "Disquisitiones Arithmeticae" que si $p$ est supérieur à $3$ et $p \equiv 1 \pmod 3$, la courbe $F_3/\mathbb{F}_p$ définie par $X^3+Y^3+Z^3=0$ contient $p-2+A$ points, avec $4p=A^2+27B^2$, $B$ rationnel et $A$ rationnel congru à $1$ modulo $3$.
Exemple: $p=13$, $4p=52=5^2+27.1^2$. Donc $A=-5$ et $p-2+A=6$.
...
ps: je pensais à un truc. Le $u$ de $x \mapsto x^u$ c'est bien l'inverse ($\textbf{modulo}$ $p-1$) de $3$ ! C'est bien comme cela que je voulais l'exprimer à la base.
...
$\bullet$ pour $p = 13$ : il faut écrire $4p = A^2 + 27B^2$ avec $A \equiv -1 \bmod 3$ et pas $A \equiv 1 \bmod 3$ comme tu as marqué. Et d'ailleurs $A$, c'est préférable de le nommer $t_p$. On trouve donc $t_p = 5$ (et pas $-5$ comme tu dis). D'ailleurs, si tu regardes les résultats d'exécution, tu verras $5q^{13}$ dans les coefficients de la forme modulaire et pas $-5q^{13}$. Ce qui fait (cf l'extrait de Tate) $p+1-t_p = 13+1-5 = 9$ points et pas $6$ points comme tu as écrit.
Par ailleurs, c'est quoi ce $p-2+A$, d'où cela sort ? On a essentiellement causé de l'égalité qui se lit dans les deux sens :
$$
t_p = p+1 - \#E(\F_p), \qquad \qquad \#E(\F_p) = p + 1 - t_p
$$
$\bullet$ Oui, $u$ est bien l'inverse de 3 modulo $p-1$ (il me semble l'avoir écrit). Bien entendu, ne pas se mélanger les pinceaux entre le modulus $p$ et le modulus $p-1$.
$\bullet$ Dénombrement. Je note $C$ la courbe $x^3 + y^3 = z^3 = 0$ et $D$ la courbe $X + Y = Z = 0$ (c'est une droite). Une fois acquis le fait que $x \mapsto x^3$ est une bijection de $\F_p$, on en déduit une bijection entre $C(\F_p)$ et $D(\F_p)$. Et comme $D(\F_p) \simeq \P^1(\F_p)$, on obtient $p+1$ comme cardinal. De manière précise :
$$
\P^1(\F_p) \ni (X : Y) \mapsto (X : Y : -X-Y) \in D(\F_p) \qquad \text {est une bijection}
$$
Je fais le guignol :-D
Je prends $p=31$, on a $p = 1 \pmod{3}$ et donc dans l'extension cyclotomique $\Q( \zeta_p)$ il existe une (unique) sous-extension de degré $3$ sur $\Q$. On peut se poser la question de comment obtenir une équation de celle-ci ! Bon bah, je prend la forme modulaire de Claude : Je regarde le coefficient en $q^{31}$ et on en déduit $t_{31} =-4$ et la j'introduit :
$$
X^3+X^2 +\frac{1-p}{3}X -\frac{p(3-t)-1}{27} \qquad \qquad X^3+X^2-10X -8
$$
Bon je n'ai rien fait moi … j'ai vu $4p = A^2+27B^2$ et je me suis souvenu d'un texte : ici !
$$
p -2 + A_{\rm toi} = p+1 - (-A_{\rm toi}) - 3
$$ et il s'agit du nombre de points de la variété affine $x^3 + y^3 + 1 = 0$ sur $\F_p$. Et pas de la variété projective $x^3 + y^3 + z^3 = 0$ sur $\F_p$ : il faut y supprimer les 3 points $(1 : -1 : 0)$, $(1 : -j : 0)$ et $(1 : -j^2 : 0)$ où $j$ est d'ordre 3 dans $\F_p^*$ (ne pas oublier que nous sommes dans le cas $p \equiv 1 \bmod 3$).
C'est cela ?
En fait je voulais juste mentionner ces recherches de Gauss (j'en ignorais l'existence avant que tu n'en parles) sans rentrer dans les détails. Du moins pas dans l'immédiat. Je souhaiterais me procurer le passage des "Disquisitiones..." portant sur le cas $p \equiv 1 \pmod 3$ pour étudier plus attentivement (si je le peux) sa démarche.
Il est vrai que livré comme ça, on ne voit pas trop d'où sort le $A$ de la formule (ni le $B$ d'ailleurs !).
Appliqué à la courbe elliptique $x^3+y^3+z^3$ le résultat de Gauss donne: $\# F_3 (\mathbb{F}_p)=p+1+A$.
...
Comment fais tu pour pointer directement sur le pdf attaché ?
Note : je dispose d'une version au 23 novembre (au lieu du 3 juillet). Déjà, je militais pour $t_p \equiv 2 \bmod 3$.
Et du coup, je viens de retrouver une autre note presque terminée sur l'arithmétique des sous-extensions de $\Q(\root p \of 1)$, $p$ premier quelconque. Je parle de l'arithmétique : base (des périodes de Gauss) de l'anneau des entiers et détermination du discriminant (sans conductor discriminant formula, mais à l'ancienne avec des matrices circulantes). Dans presque terminé, il y a ``pas terminé''.
J'ai juste copié /collé le lien du pdf que tu as joint directement ! Hum des choses non terminées, je me demande si un jour j'ai déjà terminé quelque chose, mais comme je vais à Chamonix, ce n'est pas pour aujourd'hui !
@df
1. Il me semble avoir retrouvé une trace de ton $p-2 + A$ : Ireland et Rosen, A classical Introduction to Modern Number Theory, Theorem 2 du chapitre 8 (Gauss and Jacobi sums), p. 97 de la deuxième édition. Mais tu l'as incorrectement cité car il s'agit du nombre de points de la courbe affine $x^3 + y^3 = 1 $ sur $\F_p$. Oui, non ?
J'apprécie énormément cet ouvrage. Mais ici j'émets une petite critique : cela serait préférable de normaliser l'écriture $4p = A^2 + 27B^2$ en imposant $A \equiv 2 \bmod 3$ et pas $A \equiv 1 \bmod 3$. Pourquoi ? Pour plusieurs raisons : d'une part, l'opposé d'une certaine somme de Jacobi d'un caractère cubique et d'autre part la forme modulaire attachée à $x^3 + y^3 + z^3 = 0$.
2. J'ai revu ma copie en ce qui concerne ma note pointée par Goleon. Il y avait des maladresses et des non dits. Peut-être que je pourrais de nouveau l'attacher (je n'en ai pas trop honte). C'est certes consacré apparemment à d'autres choses mais beaucoup de choses sont liées : le résultat de Gauss est liée à l'écriture $p = \pi \overline\pi$ dans $\Z[j]$ et un certaine normalisation de $\pi$. On voit la trace, celle de $\Z[j]$. Mais tout est lié (bis).
3. J'ai relu un passage de cet ouvrage (Ireland, Rosen), page 347. Il est mentionné qu'en 1968 Weil a mis en avant le conducteur $N$ d'une courbe elliptique rationnelle comme candidat au $N$ qui figurait dans la conjecture de Taniyama(-Weil par la suite) : .. il existe un $N$ et un paramétrage $X_0(N) \to E$ ...etc... Ce qui a rendu possible la vérification expérimentale de la conjecture. Je me pose toujours la question : qu'est ce que Serre a pu vérifier avec sa calculette en 1966 en revenant d'un café du Quartier Latin où il était avec Weil.
L'article de Weil est à Math. Ann. 168 (1967) p. 149-156. Cet article de Weil est cité par Lang mais les pages diffèrent (p. 165-172). Je parle du papier polémique de Lang, le fameux ``Some History otf the Shimura-Taniyama Conjecture''. Dans un fil avec Gai-Requin, on avait causé de ce papier polémique et ce dernier (Gai-Requin), moins manchot que moi sur la toile, avait fourni des pointeurs sur les numéros de La Gazette ..etc...
4. J'ai revu plusieurs fois cette histoire du rôle de Weil (le conducteur). Par exemple, dans Gouvea, A Marvelous Proof, Amer. math. Monthly 1994, numéro 101, p. 203-222 in http://www.math.stonybrook.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1994 Gouvea"A Marvelous Proof".pdf : ... A. Weil's work pinning down the role of the conductor. C'est dans ce papier que j'ai vu, pour une courbe elliptique rationnelle, la réduction multiplicative (node) c'est bien moins pourri que la réduction additive (cusp). Cf un peu la définition 2 de semi-stable. Note : les $t_p$ sont notés $a_p$ chez Gouvea.
5. J'attache du même auteur (Gouvea) un passage sur les représentations galoisiennes. Je ne te cache pas que j'en ai une grosse trouille (des représentations galoisiennes). Mais je crois, un peu par hasard, ``en faisant tout autre chose'', avoir décelé un petit trésor avec la courbe elliptique $92a_1$ de conducteur $N = 92 = 2^2 \times 23$:
[color=#000000]> EllipticCurve("92a1") ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 + 2*x + 1 over Rational Field [/color]Le discriminant quadratique fondamental $D = -23$ va rentrer dans la course. Mais qui dit petit trésor dit mettre les mains dans le cambouis. J'en ai un peu l'habitude et la plupart du temps, c'est un fiasco : RIEN ne ``marche''. Car en fait, tu (= mézigue) n'a rien compris. Il faut beaucoup, beaucoup de temps avant de faire tourner numériquement un machin qui tienne debout. Bref, ce n'est pas pour aujourd'hui ni pour demain, ni pour la semaine qui vient.