Dénombrement, question sur une solution d'exo

jimb · September 2019

Bonjour,
je cherche à comprendre une solution d'exercice.

Soit $\Omega=\{(i,j,k)\mid 1\leq i,j\leq 6,\ 1\leq k \leq 12\}.$
On cherche à calculer $\text{Card} \{(i,j,k) \in \Omega\mid i+j>k\} =\displaystyle\sum_{1\leq i,j\leq 6}\sum_{k=1}^{12} 1_{\{i+j>k\}}\underbrace{=\sum_{1\leq i,j\leq 6}i+j-1}_{\text{comment passe-t-on à cette expression ?}}$

Merci pour votre aide.

Math Coss · September 2019

Tu fixes $i$ et $j$, tous deux compris entre $1$ et $6$. Par exemple, $i=2$ et $j=3$.
Combien y a-t-il de $k$ entre $1$ et $12$ tels que $k<i+j$ ? Dans l'exemple, combien de $k<2+3$ ?
Eh bien, dans l'exemple, $4$ – les valeurs possibles de $k$ sont $1$, $2$, $3$ et $4$ parce que dès que $k\ge5$, on n'a plus l'inégalité $k<5$. Et en général : $i+j-1$ entiers $k$ supérieurs ou égaux à $1$ et strictement inférieurs à $i+j$.

jimb · September 2019

oui c'est clair désormais, je te remercie

Dénombrement, question sur une solution d'exo

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