Problèmes mathématiques encore ouverts
Bonjour
J'ouvre ce fil consacré aux problèmes encore ouverts en Mathématiques, je sais qu'ils sont assez nombreux. Certaines branches : Arithmétique, théorie des graphes sont très concernées. Je demande à tout lecteur d'enrichir ce fil et merci d'avance.
Pour ma part, je commence par le saint graal : les zéros de la fonction zeta de Riemann sont des complexes dont la partie réelle est 1/2.
Cordialement.
J'ouvre ce fil consacré aux problèmes encore ouverts en Mathématiques, je sais qu'ils sont assez nombreux. Certaines branches : Arithmétique, théorie des graphes sont très concernées. Je demande à tout lecteur d'enrichir ce fil et merci d'avance.
Pour ma part, je commence par le saint graal : les zéros de la fonction zeta de Riemann sont des complexes dont la partie réelle est 1/2.
Cordialement.
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Réponses
Pour rester dans du classique : il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^2+1$.
...
J'aime assez la conjecture de Casas-Alvero. Et puis ce problème :
Montrer que tout lacet simple $\mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}^2$ passe par les sommets d'un carré. (Page wikipédia du problème.)
Pas tout à fait le bon énoncé.
Toute décomposition de $\mathbb{Z}{}_{\geq0}$ en $m\geq3$ sous-ensembles $\left\{ \left\lfloor \alpha_{i}n+\beta_{i}\right\rfloor \right\} _{n\geq0}$ où pour $i=1,2,...,m$ les $\alpha_{i}>1$ sont des réels distincts et $\beta_{i}$ sont des réels alors nécessairement
$$\left\{ \alpha_{1},...,\alpha_{m}\right\} =\left\{ \frac{2^{m}-1}{2^{k}}:\ 0\leq k < m\right\}$$
On ne risque pas de démontrer ce que tu dis parce que c'est faux.
PS. Pardon je n'avais pas vu que tu citais quelqu'un d'autre. :-D
Quel est le bon énoncé ? Merci
C'est un problème posé par l'institut Clay qui se trouve aux états unis, et qui offre $1$ million de dollars pour celui qui le résout. Il est composé de deux questions, qui sont plus au moins liées.
C'est un problème mathématique mais qui porte sur un sujet relevant des sciences physiques qui a un lien avec la physique des particules ( i.e : mécanique quantique + Théories des champs ).
Le problème consiste brièvement à établir l'existence, pour chaque groupe de Lie simple $ G $ ( Par exemple : $ SU ( n ) $ ), d'une théorie de Yang Mills qui est simplement la donnée :
- d'un espace fibré $ E = ( E_x )_{ x \in \mathbb{R} \times (\mathbb{R}^{3}) } $ qui dépend de l'espace-temps à $ 4 $ dimension $ \mathbb{R} \times (\mathbb{R}^3) $, à fibres $ E_x $ isomorphes à $ G $
- d'une connexion $ \nabla $ sur $ E $ définie localement par une matrice $ A $ qui n'est autre qu'une généralisation de la notion de dérivation de fonctions $ d $, mais ici au lieu de dériver des fonctions, les connexions dérivent une généralisation des fonctions à valeurs dans l'espace fibré $ E = ( E_x )_{ x \in \mathbb{R} \times ( \mathbb{R}^{3} } ) $ qu'on appelle sections de $ E = ( E_x )_{ x \in \mathbb{R} \times ( \mathbb{R}^{3} } ) $.
Après ça, à partir de $ \nabla $, on définit la courbure $ F = \nabla \circ \nabla $ qui définit elle aussi l'opérateur $ \mathcal{L}_F $ qui s'appelle le Lagrangien de Yang Mills définit par : $ \mathcal{L}_F = \dfrac{1}{4 g^{2} } \int Tr ( F \wedge \star F ) $. Ce dernier après un calcul simple fournit l'expression d'un système d'équations appelé système de Yang Mills qui donc, dépend des deux éléments çi - dessus formant la théorie.
Pour dire qu'on a construit effectivement cette théorie de Yang Mills qui ne dépend que de $ G $, il faut que le système d'équations de Yang Mills trouvé soit invariant par le groupe de symétrie : Le groupe de Lie $ G $.
Voilà pour la première partie de ce problème de Yang Mills.
La deuxième partie vous sera donné quant je me serai reposé un peu. :-)
On prend le Lagrangien de Yang Mills $ \mathcal{L}_F $ trouvé dans le message précédent, et on forme son Hamiltonien correspondant $ H $ qui est la transformée de Legendre de $ \mathcal{L}_F $, c'est à dire, qui est définie par :
$$ H ( q_i , p_i , t ) = \sum_k \dfrac{d q_{k} }{dt} p_k - \mathcal{L}_F ( q_i , p_i , t ) $$
Alors, l'Hamiltonien $ H $ n'est autre qu'un opérateur de Hilbert qui définie l'équation de Schrödinger :
$$ H | \psi (t) \rangle = i \bar{h} \dfrac{ \partial }{ \partial t } | \psi (t) \rangle $$
On demande dans ce problème de trouver la valeur de l’infinimum : $ \Delta = \mathrm{inf} \ E_H > 0 $ tel que $ E_H $ est la partie de $ [ 0 , + \infty [ $ des valeurs propres de l'opérateur $ H $.
$ \Delta $ s'appelle : gap de masse.
Notez qu'on a toujours $ H \geq 0 $.
Fin du problème.
L'hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta se trouvent sur la droite $\mathfrak{R}(s)=1/2$.
Pour ma part, je trouve ça agaçant de présenter l'hypothèse de Riemann comme le Saint-Graal. C'est un problème médiatique, important dans une branche des mathématiques. Mais sa résolution n'aurait sans doute aucun impact sur la majorité des mathématiques que l'on fait aujourd'hui.
L'hypothèse de Riemann est bien sûr très importante en mathématiques dans la mesure où elle présente une suite du projet des conjectures de Weil largement développées par Grothendieck et son disciple Pierre Deligne dans les années $ 70 $.
Le pont entre l'hypothèse de Riemann et la théorie de Weil est caractérisé par la relation : $ \xi_X (s) = \displaystyle \prod_{p \ : \ \mathrm{premier}} \dfrac{1}{1-p^{- s}} = Z ( X , q^{-s} ) $ avec : $X$ un schéma de type fini sur $ \mathrm{Spec} \mathbb{Z} $ qui est ici : $ \mathrm{Spec} \mathbb{Z} $ lui meme. ( Donc, c'est un cas trivial de la fonction zéta ).
$ Z(X,t) $ est la Zeta function over $X$ définie par : $Z(X,t) = \exp \big( \displaystyle \sum_{ r \geq 1 } | \overline{X} ( \mathbb{F}_{ q^{r} } ) | \dfrac{t^{r}}{r} \big) $ qui fait l'objet d'étude des conjectures de Weil, avec : $\overline{X} ( \mathbb{F}_{ q^{r} } ) = ( X \times_{ \mathbb{F}_{q} } \overline{\mathbb{F}_{q}} ) ( \mathbb{F}_{ q^{r} }) $.
Cette zéta function est un classifiant qui dénombre le nombre de solutions d'un système d'équations polynomiales dans un corps fini.
$ \xi_X (s) = \displaystyle \prod_{p \ : \ \mathrm{premier}} \dfrac{1}{1-p^{- s}} $ est donc un cas particulier de $Z(X , t )$ lorsque : $X = \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$ et $t = q^{-s}$. Mais normalement, la théorie de Weil s’intéresse à la Zeta function $Z(X , t )$ de manière générale, over tout schéma de type fini $ X $, et non pas simplement au cas particulier : $X = \mathrm{Spec} \mathbb{Z}$ correspondant à l'hypothèse de Riemann.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,1860076,1860138#msg-1860138
je savais ce problème ouvert il y a 20-25ans, mais Seirios, garantis-tu qu'il l'est toujours??? !
Non, je ne peux pas garantir avec certitude qu'il s'agit toujours d'un problème ouvert. On doit pouvoir s'en assurer en faisant une petite recherche bibliographique, mais là je n'ai pas très envie :-D
La page wikipédia du problème affirme que le problème était toujours ouvert en 2017. Et si l'on regarde les citations de l'article original de Toeplitz (via google scholar), on ne trouve aucune preuve complète. Le problème est également déclaré ouvert ici (en 2018).
Il est donc très probable que le problème soit toujours ouvert. Pour ceux que ça intéresse, il y a un survol (2014) sur ce qui a été fait ici : A survey on the square peg problem.
(Je m'aperçois d'ailleurs que j'ai mal énoncé le problème dans mon message précédent. Je vais l'éditer.)
...
$$P \left( \left| a_1 X_1 + \dotsb + a_n X_n \right| \leqslant 1 \right) \geqslant \tfrac{1}{2}.$$
Ils sont brièvement exposés dans les deux extraits ci-dessous.
Source: "What's happening in the mathematical sciences ? Dana Mackenzie. AMS.
...
"Finding meaning in error terms"-Bulletin of the AMS, volume 45, numéro 2, Avril 2008.
...
La deuxième courbe échappe à la conjecture.
...
Voici une autre conjecture que j'aime :
Il s'agit d'une généralisation de la dualité de Galois - Grothendieck suivante :
Il existe une équivalence de catégories comme suit :
$$ \{ \ k - \text{ schémas étales finis} \ \} \simeq \{ \ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) - \text{ensembles finis} \ \} $$
avec : $ \{ \ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) - \text{ensembles finis} \ \} $ est la sous catégorie des représentations finies du groupe de Galois $ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $.
qui se généralise à l'équivalence de catégories suivante :
$$ AM(k)_{ \mathbb{Q} } \simeq \{ \ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) - \text{espaces vectoriels de dimension finis sur} \ \ \mathbb{Q} \ \} \ \ \ (1) \ \ \ $$
$ AM(k) $ est la catégorie des motifs d'Artin qui correspond à la catégories des $k$ - variétés de dimensions $ 0 $. Cette équivalence de catégorie est déjà établie et qui représente la première étape de généralisation aux cas particulier des $ k $ - variétés de dimension $ 0 $ ( i.e : des $ k $ - schémas finis ).
$ \{ \ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) - \text{espaces vectoriels de dimension finis sur} \ \ \mathbb{Q} \ \} $ est la sous catégorie des représentations linéaires du groupe de Galois $ \mathrm{Gal} ( \overline{k}/ k ) $.
L'énoncé final de la conjecture cherche alors à établir une équivalence de catégories pour $ NM^{ \mathrm{eff} } (k)_{ \mathbb{Q} } $ qui généralise $ AM(k)_{ \mathbb{Q} } $ aux variétés de dimension $ > 0 $ et qui est définie comme suit :
$$ NM^{ \mathrm{eff} } (k)_{ \mathbb{Q} } \simeq \mathrm{Rep} ( G_{ \mathrm{mot} } ) $$
où, $ \mathrm{Rep} ( G_{ \mathrm{mot} } ) $ est la catégorie des représentations du groupe de Galois moitivique $ G_{ \mathrm{mot} } $ qui est une généralisation du groupe de Galois classique $ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ aux dimensions supérieurs $ > 0 $ via l'adjonction suivante : $ AM (k)_{ \mathbb{Q} } \subset NM^{ \mathrm{eff} } (k)_{ \mathbb{Q} } \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) \to G_{ \mathrm{mot} } $ avec : $ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) \to G_{ \mathrm{mot} } $ surjective.
On voit alors que le groupe de Galois motivique $ G_{ \mathrm{mot} } $ est une généralisation aux éléments de $ NM^{ \mathrm{eff} } (k)_{ \mathbb{Q} } $, du groupe de Galois classique $ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ opérant sur $ AM (k)_{ \mathbb{Q} } $.
Fin.
"Tout opérateur linéaire d'un espace de Hilbert admet un sous-espace invariant non trivial."
Le résultat est faux sur un espace de Banach non hilbertisable : les contre-exemples ont donné lieu à l'étude d'espaces de Banach que l'on croyait exotiques (les espaces héréditairement indécomposables via la dichotomie de Gowers et les espaces de Maurey-Gowers qui ont relancé l'étude des espaces de Banach, d'un point de vue opératoriel).
On note $\displaystyle \Omega(n)=\sum_{i=1}^k \alpha_i$ et $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$ (avec $\lambda(1)=1$).
On pose $\displaystyle L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k)$. On sait que $L(n)>0$ pour une infinité de $n$.
Conjecture: $L$ change de signe une infinité de fois.
...
Soit $p$ premier supérieur à $2$. On pose $a(1):=p$ et $$
a(n)=\big|\:a(n-1)-\text{pgcd}\big(a(n-1),\,pn^2-1\big)\:\big|.
$$ Il y a une infinité de valeurs de $n$ telles que $a(n)=0$.
Pour $n$ suffisamment grand, si $a(n)=0$ alors $p(n+1)^2-1$ est premier.
...
(i) Polya a conjecturé que $L(n) \leqslant 0$ pour $n$ suffisamment grand, ce qui entraînerait l'hypothèse de Riemann (Polya, 1919). Cette conjecture est vraie pour $n \in \{2, \dotsc,20000\}$ (Gupta, 1940) et a été vérifiée par Haselgrove jusqu'à $250 \, 000$, puis par Lehmer jusqu'à $600 \, 000$.
(ii) Haselgrove (1958) a infirmé la conjecture de Polya. On sait aujourd'hui qu'il existe une infinité de contre-exemples à cette conjecture. Par exemple, $L(906 \, 150 \, 257) = 1$ et $L(906 \, 400 \, 000) = 708$.
(iii) Il y a une infinité d'entiers positifs $n$ pour lesquels $L(n) > 0,061 \, 867 \sqrt n$ (Borwein, Ferguson & Mossinghoff, 2008).
La surjection à la fin $\text{Gal}(\overline{k} \mid k) \to G_{\text{Mot}}$, est-ce qu'elle n'est pas dans l'autre sens ?
Oui, c'est ça. Pardon. Je n'ai pas fait attention. :-)
https://arxiv.org/pdf/1910.10569.pdf
La fonction de Liouville $\lambda$ est complètement multiplicative, égale à $-1$ pour tout premier $p$ et l'ensemble de ses valeurs semble se comporter comme une suite aléatoire de $-1$ et de $1$. On peut imaginer une marche à deux dimensions par pas de $(\pm 1, \pm 1)$ à travers des pairs de points de la suite $\{\lambda(i)\}_{i=1}^{\infty}$.
Le fait qu'après $n$ pas de cette marche, la position atteinte doit-être approximativement à une distance de $\sqrt n$ de la position d'origine implique l'hypothèse de Riemann.
...
\begin{equation}
\displaystyle \pm1 \pm x \pm x^2 \pm x^3 \pm...\pm x^n
\end{equation}
Il y a $2^{n+1}$ de ces polynômes pour un certain degré $n$. A partir du degré $2$ apparaissent des racines complexes.
Il est difficile d’interpréter le codage couleur utilisé dans ces simulations.
Les couleurs traduisent la répartition des racines et leur degré de « stabilité » en fonction de variations continues infimes des coefficients.
J’ignore comment traduire de manière plus précise cette dépendance entre coefficients et racines.
Toujours est-il que ces expérimentations ont permis de révéler des motifs récurrents sans passer par des preuves formelles difficiles et longues de plusieurs centaines de pages. Elles ont aussi mis en évidence la présence de stries latérales sur les régions en forme d’anneau autour du cercle-unité: celles où la densité de zéros est la plus grande.
Le $\textbf{problème ouvert}$ consiste à trouver une explication analytique convaincante sur la présence de ces fines bandes latérales.
Je pense qu’à ce jour, elle n’a pas été fournie.
$\textbf{• figure 1}$ Zéros des polynômes à coefficients dans $\{-1,+1\}$ jusqu'au degré $18$.
L'ensemble des zéros forme une image fractale dans le plan complexe qui s'étend de $-1,5(1+i)$ jusqu'à $1,5(1+i)$.
$\textbf{• figure 2}$ Toutes les images montrent que l'anneau de répartition est parcouru de disques noirs (dont les deux plus gros sont diamétralement opposés). Il s'agit de zones vides de zéros situées autour des racines de l'unité. Leur découverte n'est pas le résultat de spéculations diverses. Elles ont été constatées visuellement à partir de simulations numériques.
Par exemple, si on fixe une racine particulière $\alpha$ d'un polynôme à coefficients dans $\{-1, 0, 1\}$ et qu'on représente toutes les racines de polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ jusqu'à un certain degré $n$, on remarque que la taille des régions sans zéros autour de $\alpha$ varie avec le degré $n$.
$\textbf{• figure 3}$ Zéros de tous les polynômes à coefficients dans $\{-1,0,+1\}$ et de degré au plus $8$.
$\textbf{• figure 4}$ Une vue agrandie autour du point $\alpha=1$ de toutes les racines des polynômes de degré $15$ à coefficients dans $\{-1,+1\}$.
$\textbf{• figure 5}$ Des stries latérales bien visibles.
$\textbf{source}$: images de Jonathan Borwein et Loki Jorgensen.
CECM Random Polynomial Interface.
...
Étant donné un ensemble de polynômes $f_i$ en $n$ variables sur $\mathbb{C}$, décider si les $f_i$ ont un zéro commun.
En tant que problème de décision, le "Nullstellensatz" de Hilbert (qui avait déjà été abordé par Kronecker) est $NP$-complet sur tout corps (dont $\mathbb{C}$), même si tous les $f_i$ sont de degré $2$.
Donc si il existe un algorithme algébrique qui, à la valeur d'entrée $f=(f_1,...,f_k)$ répond $\textbf{"OUI"}$ en temps polynomial si et seulement si il existe $\zeta \in \mathbb{C}^n$ tel que $f_i(\zeta)=0 \: \: \text{pour tout} \: i$ (i.e. si le "Nullstellensatz" est dans $P$) alors $P=NP$ !
...
Concernant les problèmes ouverts: je signale cette vidéo: malheureusement, il y a une coupure son de 8 minutes au milieu. Mais très intéressante !
Je ne connaissais pas les conjectures attachées au nom de Hilbert: je ne parle pas du treizième problème mais des trois autres. RD signifie "Résolvent Degree".
https://video.ias.edu/special/2019/1205-JesseWolfson
...
$$n \leqslant u^2 + v^2 < n + \alpha n^{1/4}.$$
Toute tentative pour améliorer inconditionnellement le coefficient $2 \sqrt 2$, sans même parler de l'exposant $\tfrac{1}{4}$, s'est soldée par un échec.
Récemment, Shiu a prouvé que, sous une certaine conjecture sur une répartition de parties fractionnaires d'une racine carrée, alors on peut remplacer $2 \sqrt 2$ par $0$.
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{i=1}^{k(G)} d_i^2=|G|.
\end{equation}
Chaque $d_i$ est un diviseur de l'ordre de $G$. Le nombre de représentations irréductibles de degré 1, $\rho:\: G \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ de $G$, est l'indice de $G'$ dans $G$ où $G'$ est le sous-groupe des commutateurs de $G$. Le cas abélien est trivial puisqu'alors l'indice est égal à l'ordre de $G$.
$\textbf{Problème}$ Pour chaque entier $n$, quel est l'ordre $f(n)$ du plus petit groupe ayant une représentation irréductible complexe de degré $n$ ?
On a $f(1)=1, \: f(2)=6,\: f(3)=12,\: f(4)=20,\: f(5)=55,\: f(6)=42, \:( f \text{ n'est pas croissante !}), \\ f(7)=56,\: f(8)= 72,\: f(9)=144$, etc...
La formule de Burnside montre que $\mathfrak{S}_3$ est le seul groupe non-abélien d'ordre $6$ ayant une représentation irréductible de degré $2$.
Si $n=4$, $f(4)\geq 4^2+4=20$ car on a en général $f(n)\geq n^2+n$. Il y a un unique groupe d'ordre $20$ vérifiant
\begin{equation}
\displaystyle 20=1^2+1^2+1^2+1^2+4^2
\end{equation}
Donc $f(4)=20$.
Plus le degré augmente, plus il faut ruser pour borner les $d_i$.
On peut invoquer le fait que si $H$ est un sous-groupe abélien de $G$ alors $d_i \leq [G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ ou bien utiliser $d_i^2 \leq [G:Z(G)]$.
Des problèmes difficiles ou non-résolus relient ce domaine à la théorie des nombres.
• Peut-on avoir $f(a)=f(b)$ pour $a \neq b$ ?
• Existe-t-il des suites arbitrairement longues de $f(n)$ décroissants ?
• Si $2^n+1$ est un nombre premier, $f(2^n)=2^n(2^n+1)$.
• Si $p$ est premier, $2^p-1$ l'est également et $f(2^p-1)=2^p(2^p-1)$.
• Existe-t-il un nombre infini de premiers $p$ vérifiant $f(p)=pq$ où $q$ est le plus petit nombre premier tel que $p$ divise $q-1$ ?
• Pourquoi un grand nombre de valeurs de $f(n)$ sont liées à des groupes de Frobenius ?
...
Voici une liste de problèmes non résolus https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics
Ici un classement par ordre alphabétique avec les conjectures en plus https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Unsolved_problems_in_mathematics
j’ai trouvé un joli problème ouvert à la frontière de l’algèbre et de l’analyse complexe.
Donner une caractérisation complète, (incluant la combinatoire), de l’ « algébricité » de la série formelle $G$.
On considère l’élément $a$ de l’algèbre de groupe $A$ comme une matrice $(1 \times 1)$. La série $G$ apparaît alors comme l’inverse du polynôme caractéristique en la variable $t$ de la matrice $a$.
La « trace » $\tau(a^n), \: n \geq 1$ est le terme constant de $a^n$.
...
1) La constante de Catalan n'est pas un nombre rationnel.
2) les nombres $\zeta(2n+1)$ ne sont pas rationnels, pour $n\geq 2$ entier. (On a déjà une preuve pour $n=1$ et toutes les tentatives de généraliser les méthodes utilisées pour cette preuve ont toutes échoué, à cette heure, pour passer à $\zeta(5)$ par exemple)
$\mathbb{C}[A,B,C]$ est l’ensemble des $\mathbb{C}$-combinaisons linéaires des monômes $A^iB^jC^k$ pour $i,j,k$ allant de $0$ à l’infini.
$\mathbb{C}[A,B,C]$ est un sous-espace (de dimension au plus $n^2$) du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$.
$\textbf{Problème}$ La dimension de $\mathbb{C}[A,B,C]$, en tant que $\mathbb{C}$-espace vectoriel, est-elle bornée supérieurement par $n$ ?
Il a été prouvé [Gerstenhaber] que pour $k=2$ matrices de $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $AB=BA$, la dimension de l’algèbre unitaire $\mathbb{C}[A,B]$ est inférieure ou égale à $n$. Le cas $k=1$ étant une conséquence du théorème de Cayley-Hamilton.
Qu’en est-il si le nombre $k$ des matrices commutantes de $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est supérieur à $n$ ?
…
Voici un autre problème ouvert qui a été proposé dans une revue d’algèbre linéaire. Ce n’est pas le problème du millénaire mais il n’a jamais été solutionné de manière « synthétique » par ceux qui étaient le plus à même de le faire (les lecteurs de la revue en l’occurrence).
Après plusieurs mois d’attente infructueuse, une vérification par ordinateur a toutefois été publiée. Ma traduction de l’énoncé paraît bancale, aussi ai-je préféré le « publier » dans sa version originale. $U^*$ désigne la matrice adjointe de $U$.
…
Soient $P,Q,R$ des polynômes à coefficients positifs ou nuls, de coefficients de plus haut degre egal à 1. On suppose
1) $P$ est à coefficients 0 ou 1
2) $P=QR$
Montrer que $Q$ et $R$ sont à coefficients 0 ou 1.
C'est assez facile si $P$ est réciproque càd $P(x)=x^nP(1/x)$. Pour le reste c'est toujours non prouvé. Une formulation équivalente est la suivante.
Soit $X$ une va uniformément répartie sur une partie finie des entiers, et soit $Y$ et $Z$ indépendantes à valeurs entières telles que $X=Y+Z$. Montrer que $Y$ et $Z$ sont uniformément reparties sur des ensembles finis.
Un polynôme dont le coefficient de plus haut degré est un est dit unitaire.
Si, de plus, tous les coefficients sont inférieurs ou égaux à un en valeur absolue les polynômes sont plats.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Soit $n\geqslant2$ un entier et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{1,…,n\}$ ; montrer qu’il existe deux variables aléatoires $Y$ et $Z$ définies sur un même espace probabilisé, à valeurs dans $\N$ , non presque sûres, indépendantes, telles que $X \sim Y + Z$ si, et seulement si, $n$ n’est pas premier.