Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
dans Shtam
Bonjour à tous,
Dans les cours d'algèbre commutative, on nous enseigne toujours que l'anneau des polynômes $ \mathbb{C} [X] $ est factoriel. Ceci dit, la décomposition d'un polynôme $ P \in \mathbb{C} [X] $ en éléments simples est unique. Pouvez vous me dire, s'il vous plaît, comment démontre -t-on que cette décomposition est effectivement unique.
Par exemple, aujourd'hui, je découvre que tout polynôme $ P(X) = a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{C} [X] $ admet au moins, trois décompositions distinctes, en élément simples. et ce sans aucune erreur commise dans la méthode. Donc, inutile de me dire que je me suis trompé quelques part, parce que la méthode de calcul est juste.
Quelles conséquences a-t-il le fait que tout polynôme dans $ \mathbb{C} [X] $ a plusieurs décompositions distinctes, en éléments simples ?
Merci d'avance.
Dans les cours d'algèbre commutative, on nous enseigne toujours que l'anneau des polynômes $ \mathbb{C} [X] $ est factoriel. Ceci dit, la décomposition d'un polynôme $ P \in \mathbb{C} [X] $ en éléments simples est unique. Pouvez vous me dire, s'il vous plaît, comment démontre -t-on que cette décomposition est effectivement unique.
Par exemple, aujourd'hui, je découvre que tout polynôme $ P(X) = a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{C} [X] $ admet au moins, trois décompositions distinctes, en élément simples. et ce sans aucune erreur commise dans la méthode. Donc, inutile de me dire que je me suis trompé quelques part, parce que la méthode de calcul est juste.
Quelles conséquences a-t-il le fait que tout polynôme dans $ \mathbb{C} [X] $ a plusieurs décompositions distinctes, en éléments simples ?
Merci d'avance.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
Edit : Croisement avec le message de Poirot.
C'est quoi, la décomposition en éléments simples d'un polynôme ?
Et s'il s'agit d'une décomposition en produit de termes de degré 1, il n'y en a qu'une seule, à l'ordre des facteurs et à des coefficients multiplicatifs près; autrement dit sous la forme $a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0=a_5(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)$, à une permutation des facteurs près, il y en a une seule.
Je ne te dis pas que tu t'es trompé, je te dis seulement que tu racontes n'importe quoi; comme très souvent.
[ Edit : Je note que tu n'as pas répondu à Poirot sur ce que tu appelles "élément simple". Encore une fois, tu manipules des mots que tu ne comprends pas]
Pardon, je me suis mal exprimé Poirot.
Décomposition en éléments simples signifie pour moi, décomposition en éléments irréductibles $ P = a P_1 \dots P_n $ avec : $ a \in \mathbb{C} $ inversible ( i.e : différent de $0$ ). Puisque ici, on est dans $ \mathbb{C} $ algébriquement clos, alors : $ P_i = \alpha_i x + \beta_i $ avec : $ \alpha_i , \beta_i \in \mathbb{C} $ pour tout $ i = 1 , \dots , n $.
Edit : Croisement avec le message de gerard.
Ah oui, $ \mathbb{C} [X] $ est euclidien, donc, principal, donc, la décomposition est unique, et il est facile de montrer que $ \mathbb{C} [X] $ est euclidien.
Alors, je ne sais pas s'il m'est permis de dire sur ce forum qu'il y a erreur dans le fondement de la théorie des anneaux, parce que moi, je trouve, d'après ma méthode, que la décomposition en éléments simples de tout polynôme dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Aucun problème Pablo.
Un modérateur ou une modératrice pour déplacer cette discussion en shtam ?
Quelle conséquence a-t-il le fait que la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique ?
Merci infiniment.
Comme le dit Poirot, si tu ne fournis pas de preuves, ce ne sont pas des maths, donc rien à faire sur ce forum
Ma méthode marche uniquement pour les équations de degré $ \geq 4 $.
Par exemple, les équations degré $ 4 $ se réduisent aux équations de degré $ 2 $.
les équations degré $ 5 $ se réduisent aux équations de degré $ 3 $.
...
les équations degré $ n $ se réduisent aux équations de degré $ n-2 $.
Pour les équations de degré $ 3 $, je ne peux pas ou bien à vrai, je peux, mais je descends à une équation de degré $ 1 $ qui ne peux pas se mettre comme produit de deux polynômes de degré inférieur. Voilà pourquoi ça ne marche pas pour $ X^2 - 1 = 0 $.
Eh bien, fais nous le avec $X^4-1$.
Cordialement,
Rescassol
Ok, alors, que donne ta méthode pour $X^4-1$ dans $\C[X]$ ? Tu prétends qu'il existe au moins trois factorisations. Moi, je te dis que la seule qui existe est celle-ci : $X^4-1=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)$. Tu en vois vraiment d'autres ?
Edit : grillé
Non. Tu ne m'as pas compris Maxtimax. Quelle conséquence aura-t-il en théorie des anneaux plus précisément. Quelles anomalies trouvera-t-on en théorie des anneaux qui bloquera son développement ? Quels théorèmes et propriétés précisément ?
trois décompositions de $X^2-1$ dans $\R[X]$ :
$X^2-1=(X-1)(X+1)$
$X^2-1=(2X-2)\left(\frac12X+\frac12\right)$
$X^2-1=5(X+1)\left(\frac15X-\frac15\right)$
B-)
En fin de compte, c'est simplement un mythomane !!
Les racines simples d'un polynôme complexe s'expriment comme une série dont les termes sont des fonctions rationnelles des coefficients. https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem
Cette série c'est la série de Taylor de $f^{-1}$ donc elle ne converge que sur un disque image d'un ouvert où $f$ est bijective (d'où la restriction $f'$ ne s'annule pas donc la racine qu'on va trouver est simple).
Donc il faut d'abord translater le polynôme pas trop loin d'une de ses racines. Les racines doubles se trouvent en regardant $\gcd(f,f')$.
Sinon Pablo étant donné que $f\in \C[x]$ non-constant a toujours une racine $a_1 \in \C$ peux-tu montrer l'unicité de sa factorisation $f(x)=c\prod_j (x-a_j)$ ? Et étant donné que dans $k[x]$ le pgcd donne que tout idéal est principal, peux-tu montrer l'unicité de la factorisation en polynômes irréductibles (et premiers dans $k[x]$) ?
Ensuite la vraie question intéressante c'est de montrer que $k[x,y,z]$ est un UFD.
Je ne ferai pas le calcul aujourd'hui pour $ X^4 - 1 = 0 $, parce que le calcul est très long. :-P Je m'excuse. :-)
Voilà le principe :
Par exemple, pour une équation de degré $ n $, je transforme son système de Viète à $ n+1 $ équations, en un système de Viète à $ n-2 $ équations correspondant à une équation de degré $ n-2 $ plus $ 2 $ autres équations linéaires faciles à résoudre quant on sait résoudre l'équation à $ n-2 $ degré. Je peux évaluer que cette équation à $ n-2 $ degré me fournira $ n-2 $ décompositions à éléments simples de l'équation initiale de degré $ n $.
J'essaye d'améliorer ma méthode pour le moment pour pouvoir réduire mon équation à $n$ degré à une autre de degré $ n-3 $ ou $ n-p $ ( Je ne sais pas pour le moment ). Pour le moment, j'ai réduit au début de $ n $ à $ n-1 $, mais ça, n'a pas marché parce qu'il y a moins de variables que d'équations quant je développe. mais j'ai réussi à passer de $ n $ à $ n-2 $, et là ça marche. J'essayerai d'améliorer ma méthode à fin de voir si je peux passer de $ n $ vers $ n-3 $ ou $ n - p $ de manière générale. :-)
C'est très long de factoriser $X^4-1$ ? Tu plaisantes ! Il faut une fraction de seconde de tête ! Tu dis toujours n'importe quoi !!!..........
Cordialement,
Rescassol
Peux tu me montrer comment s'il te plaît ? Moi je ne sais pas le faire. X:-( :-)
Ok, une dernière tentative : même $X^4$, c'est trop dur à factoriser ? (C'est le plus gentil polynôme de degré 4)
Non, ma méthode fonctionne uniquement pour les équations de la forme : $ a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0 $ avec : $ a_n , a_0 \neq 0 $. J'ai oublié de préciser ça. :-) Pardon. :-)
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/TER/radicaux.pdf
cela l'empêcherait peut-être d'avoir des poussées de fièvres shtamiques. B-)-
Merci d'avance.
Edit : Si la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique, alors, $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas euclidien. Que signifie que $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas euclidien ?
Tu dis que, pour tout polynôme vérifiant certaines propriétés, tu as la preuve qu'il y a plusieurs décompositions.
On te demande les différentes décompositions pour certains polynômes, tu ne peux pas les donner, parce que c'est compliqué, ou parce que les polynômes proposés ne respectent pas les critères qu'il faudrait. Ok , admettons.
Tu ne veux pas donner la démonstration ici, soit, je peux le comprendre.
Mais il y a un truc simple que tu peux faire, et qui va convaincre tout le monde.
Tu prends un polynôme de ton choix. Et tu donnes les différentes décompositions pour ce polynôme. Un seul exemple, ça suffit.
Et là, tu vas avoir tout le monde à tes pieds et prêt à t'aider.
demander à Pablo d'être cohérent, c'est demander à la pluie de ne pas mouiller. Ça fait plus de 10 ans qu'il pose des questions sur des maths élémentaires tout en prétendant résoudre la conjecture de Hodge, un des "problèmes du millénaire", qu'il donne des corrections à des questionneurs lycéens qui sont fausses tout en prétendant que ses calculs sont toujours justes, qu'il prétend avoir trouvé des preuves sûres de propriétés contredisant les mathématiques connues (comme ici) sans jamais exhiber sa preuve, ni même un exemple, ...
Pablo est incohérent, il ne fait pas des mathématiques, il rêve qu'il en fait, et vient ensuite ici pour se faire mousser et se fait rejeter.
Cordialement.
@Poirot :
S'il te plaît, il n'y'a pas raison de me bannir juste pour avoir eu l'envie de venir divulguer une nouvelle sur ce forum. Je n'ai pas violé les principes de la charte. Il me semble, qu'il serait judicieux de nous tolérer un minimum le droit de nous exprimer et de respirer tant que cela ne viole pas les principes de la charte ou ne porte aucune une agression verbale envers quelqu'un.
@Poirot , @Lourran :
Le calcul à la main me fatigue et m'ennuie complètement. Pour ce genre de calcul portant sur ma méthode, il faut un logiciel de calcul. Le calcul à la main est trop long. ça me tue de penser à commencer à faire le calcul à la main. c'est trop ennuyeux.
On part de l'équation $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0 = 0 $ qui se factorise à titre d'exemple, sous la forme $ a_5 (x+ b_0 ) (x+b_1) \dots (x+b_4 ) $ qu'on réduit ensuite, pour obtenir une équation de degré $ 3 $ de la forme $ c_3 x^3 + ... + c_1 x + c_0 = c_3 (x+ b_0 ) (x+d_1) (x+d_2 ) $. ( Théoriquement, il y'a un facteur $ (x + b_0 ) $ en commun entre l'équation de départ et l'équation d'arrivée ... Je n'expliquerai pas pourquoi sinon, la méthode sera dévoilé complètement ).
Alors, quant je résous concrètement $ c_3 x^3 + ... + c_1 x + c_0 = ( x + e_1 ) ( x+ e_2 ) ( x + e_3 ) $ il y'a trois facteurs possibles pour $ (x + b_0 ) $ qui est le facteur en commun entre l'équation de départ et l'équation réduite : ce sont : $ ( x + e_1 ) $ ou bien $ ( x + e_2 ) $ ou bien $ ( x + e_1 ) $. Or l’équation de départ, n'est pas divisible par l'équation d'arrivée quant je fais la division euclidienne ( ou bien a un seul facteur en commun par l'algorithme d'Euclide ), d'où il existe trois décompositions distinctes pour le polynôme de départ. :-)
C'est donc que tu as fait une erreur de calcul dans ton processus ou que ton processus ne fait pas ce que tu crois qu'il fait.
AD
J'ai corrigé le passage. J'ai ajouté une phrase, mais ça revient au meme : Si l'équation de départ n'est pas divisible par l'équation réduite, c'est que on n'aura pas : $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_5 = b_0 (x+e_1) (x+e_2) (x+e_3) (x+b_4)(x+b_5) $, mais, on aura par exemple : $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_5 = b_0 ' (x+e_1) (x+b_2) (x+b_3) (x+b_4)(x+b_5) = (x+b_1 ') (x+e_2) (x+e_3) (x+b_4 ')(x+b_5 ') $, d'où deux décompositions distinctes ( pour ce cas ... )
- l'expression « qu'on réduit ensuite, pour obtenir une équation de degré 3 » n'a pas de sens en elle-même : de quelle réduction s'agit-il ? De la fameuse méthode-de-Pablo qui invalide la théorie de Galois ?
- on a deux façons d'écrire cette équation réduite $c_3(x+b_0)(x+d_1)(x+d_2)=c_3(x+e_1)(x+e_2)(x+e_3)$ (au passage, en résolvant concrètement, tu as perdu le coefficient dominant $c_3$) ; est-ce à dire que cette équation de degré $3$ possède six solutions ? Non, tu n'es pas en train de soutenir cette idée ridicule, n'est-ce pas ? Alors, c'est que les deux ensembles $\{b_0,d_1,d_2\}$ et $\{e_1,e_2,e_3\}$ coïncident et que ces deux factorisations sont identiques à l'ordre des facteurs près.
C'est inepte (absurde, incohérent, insensé).C'est la méthode de la Corrida n'est ce pas ?
@Ait Joseph :
Tu as beaucoup de sens d'humour. :-)
@AitJoseph : je ne vois pas où tu trouves le moindre sens dans ce qu'écrit Pablo.
Je n'ai pas dit ça. J'ai dit : Une équation de degré cinq équivalente à une équation de degré trois plus deux équations linéaires facile à résoudre après résoudre l'équation de 3 ème degré. Ensuite, on reporte dans l'équation de départ et on obtient les décompositions en éléments simples.