Somme de coefficients binomiaux

Bonjour,
Cela fait quelques jours que je bataille sur l’égalité $$\sum\limits_{i + j = n} {\binom{2i}{i} \times \binom{2j}{j}} = 2^{2n},$$ (où $n$ est un entier naturel) sans succès.
Même par récurrence je n’y arrive pas.
Enfin, plus généralement, est-il possible de calculer la somme $$\sum\limits_{i_1 + i_2 + \cdots+ i_p = n} {\binom{2i_1}{i_1} \times \binom{2i_2}{i_2}} \times\cdots \times \binom{2i_p}{i_p},$$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels ?
Merci pour votre aide.