Codage d'un réel

Il existe une seule suite de ce genre, Oui. Mais le problème est que le point 'fixe' de cette suite ( = le digit qui représente les unités), on ne sait pas à quelle position il se trouve.
Habituellement quand on parle de suite, on a des suites $u_n$, avec n entier positif (ou nul). Ici, on parle de suites $u_n$, avec n entier éventuellement négatif.
Si on accepte cette extension de la notion de suite, alors, oui, on a une bijection entre R et toutes les suites à valeurs dans {0,1}

Soit $S$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\{ 0,1 \}$
On construit deux bijections : $b_1$ de $S$ vers $]0,1[$ et $b_2$ de $]0,1[$ vers $\mathbb{R}$ .

On prend $b_2(x)=x/(1-x)$ ()par exemple).

$b'_1$ envoie $(0,0,0,0,\,...)\mapsto(1,0,0,0,\,...)\mapsto(0,1,0,0,\,...)\mapsto(0,0,1,0,\,...)\mapsto(0,0,0,1,\,...)$ etc.
et $(1,1,1,1,\,...)\mapsto(0,1,1,1,\,...)\mapsto(1,0,1,1,\,...)\mapsto(1,1,0,1,\,...)\mapsto(1,1,1,0,\,...)$ etc.
et aussi toute autre suite sur elle-même.
$b'_1(S)$ est l'ensemble $S'$ des suites non constantes.
Une suite non constante est interprétée comme un programme qui choisit de intervalles :
$0 \leftrightarrow$ prendre la moitié gauche de l'intervalle, et $1 \leftrightarrow$ prendre la moitié droite de l'intervalle.
Plus précisément : à partir de $]a,b]$ un 0 choisit $]a,(a+b)/2]$ et un 1 choisit $](a+b)/2,b]$.
A une suite $s$ donnée $b_1''$ fait correspondre l'intersection des intervalles choisis par $s$, en partant de $]0,1]$.

L'absence de la suite $(0,0,0,\,...)$ fait que l'intersection n'est pas vide.
Celle de la suite $(1,1,1,1,\,...)$ fait que 1 n'est pas dans l'image.

J'espère ne pas m'être trompé.