Priorité

C'est curieux, j'ai visionné des séquences où il exposait son travail parlementaire il m'avait paru intelligent. Un coup de pompe sans doute.

Villani a entièrement raison dans son intervention et dans les ouvrages de maths sérieux on donne toujours les conventions de notations explicitement. Les maths ne sont pas le jeu du mot magique.
L'idée même qu'il existe un consensus est démentie dans les faits par les différents résultats donnés par des calculatrices différentes (les constructeurs ne sont pas d'accord et ne sont pourtant pas des ânes).
Faire de l'ordre de priorité des opérations une propriété essentialiste profonde de certaines écritures (et non pas une convention qu'il est impératif d'expliciter à un moment ou un autre) est idiot et non mathématique.

Moi, j'ai toujours considéré que * et / ont la même priorité, et qu'à priorité égale en l'absence de parenthèses, on fait comme avec les additions et les soustractions : on calcule de gauche à droite (sauf pour les puissances, mais les calculs avec des puissances de puissances, ça ne doit pas courir les rues au collège). C'est ce que fait Python 3, comme le dit très clairement la documentation, notamment cette phrase :

Operators in the same box group left to right (except for exponentiation, which groups from right to left).

(ceci confirme ce que GaBuZoMeu a constaté sur un exemple :-))

Si on voyait ça en 5e et en 4e avec le prof. d'anglais, ce serait réglé en deux coups de cuillère à pot. B-)-

@Foys

Je connais dc mais l'utilise rarement. Son intérêt principal est d'être scriptable et de calculer en précision illimitée ? Je n'ai pas souvent besoin de la précision illimitée ; quant à l'aspect scriptable, j'utilise plutôt le langage shell POSIX ou Python. Pour les calculs de coin de table sur l'ordi en notation polonaise inversée, j'apprécie beaucoup Orpie (on y voit la pile, comme à la maisonsur la HP48).

Comme je l’ai dit un peu plus haut : à la limite je comprends l’ambiguïté avec le symbole « / » car pour moi il n’est pas officiel et il rappelle le trait de fraction et donc est parfois utilisé comme tel...

Si quelqu’un pouvait sortir des programmes de 10-13 ans dans plusieurs pays, j’imagine que ce doit être vu comme en France, voire bien avant.
On y verrait plus clair.

Foys, « $\div$ » utilisé ou pas, les conventions (règles) sont données. Que ce soit aussi rare que cela.
On ne peut pas justifier des erreurs, pire, entendre des gens parier sur des choses fausses, parce qu’elles ne sont pas utilisées.
Un oubli par contre est légitime et dans ce cas on ne fonce pas tête baissée vers un truc qu’on pense vaguement vrai.

D’ailleurs pour les fractions, très peu (sauf ceux qui font des maths, certes) les utilisent mais on trouve encore des choses fausses et des gens qui prennent parti pour des résultats faux.

Idem pour les pourcentages avec successions de soldes.
On en trouvera bien un qui crie à l’ambiguïté parce que « augmenter de 20% puis diminuer de 20% ça doit revenir au même, c’est logique ».

Pour en revenir au sujet, je viens de regarder sur des sites russes sur cette question qui déchaine aussi les passions et c'est loin d'être très clair aussi...
Je vous traduis un des manuels de maths de l'époque soviétique:
"Ordre des opérations. En algèbre l'ordre des opérations est le même qu'en arithmétique mais il y a une exception: en algèbre le signe multiplication est prioritaire devant le signe division. Exemple: a÷b×c=a÷(b×c) (je précise qu'il s'agit bien des notations "÷" et "×" qui sont écrites dans le manuel).
Pour écarter un malentendu il est préférable d'utiliser le trait pour la division ou des parenthèses.
Kolmogorov a proposé de changer l'ordre en arithmétique et calculer par exemple 80÷20×2=80÷40=2 "

Avec cela on peut comprendre le bazar :-D
A signaler que même des modèles différents de casio donnent deux résultats différents en utilisant toutes les deux le signe ÷ et non pas /

Au moins la règle est claire (enfin, je parle du « morceau de la règle qui priorise la multiplication sur la division »).
Et ce n'est pas la même règle qu’en France.

Par contre distinguer arithmétique et algèbre est bien bizarre.
Où s’arrête l’une ou l’autre ?
Quand on parle de l’anneau $(Z,+,\times)$, on est dans quel monde ?

Foys a écrit:

foys@chez_foys:~$ dc -e "8 2 / 2 2 + * p"
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foys@chez_foys:~$ dc -e "8 2 2 2 + * / p"
1

Il y a beaucoup d'utilisateurs de dc sur le forum ?

Oui, presque toujours quand je suis devant l'ordi.

Bon, j'avoue ne pas avoir lu attentivement tous les messages, mais pour lever toute ambiguïté, il suffit d'utiliser la notation polonaise inversée ou de mettre autant de paires de parenthèses qu'il y a d'opérations moins un. Comme c'est peu lisible, que c'est même très lourd avec toutes ces parenthèses pour qui n'est pas un ordinateur, on a convenu de conventions d'écritures.

Certaines sont adoptées par tout le monde et correspondent très heureusement (est-ce bien un hasard ?) à la typographie : c'est le cas de la dite « priorité » de la multiplication sur l'addition. En écrivant 2 + ab, on s'arrange, ou TeX le fait, pour que a et b soient imprimés ou écrits plus proches l'un de l'autre que du reste. bref, c'est intelligent. Aussi en interprétant au niveau très élémentaire la multiplication par des entiers comme des additions.

Par contre, certaines conventions semblent avoir peu de fondement et relever plutôt de la volonté de donner un sens à tout prix à n'importe quelle écriture semblant enchaîner les opérations. Or, une telle écriture, à laquelle on voudrait trouver un sens, n'a rien de naturel. Ce qui est naturel ou légitime, c'est d'enchaîner des opérations, pas d'écrire des signes dans tous les sens sur une feuille. Je ne sais pas si trouver la bonne réponse attendue à un calcul enchaînant des multiplications et divisions sans parenthèses parce qu'on a appris qu'il fallait arbitrairement les faire de gauche à droite, c'est vraiment faire des maths.

De ce point de vue, le vision du physicien évoquée plus haut me paraît naturelle et justifiée. Il s'agit d'adopter l'écriture la plus pratique et naturelle possible pour, en quelque sorte, soulager son cerveau et se concentrer sur les vraies difficultés.

Dom,

Si tu supprimes les espaces, ce n'est pas du jeu. Dans ce cas, supprimons les parenthèses dans une expression « traditionnelle » (notation infixe ?) et voyons ce que cela donne ! Sérieusement, les espaces sont juste une façon de représenter le séparateur, on pourrait choisir n'importe quel autre symbole. Le gros avantage de cette méthode, c'est qu'elle permet de construire hyper facilement l'arbre de la syntaxe abstraite avec lequel un programme peut directement calculer (ou analyser, manipuler) l'expression. C'est probablement plus pratique pour les programmes que pour les cerveaux humains—en tout cas, pour les cerveaux humains non habitués.

P.S. : la règle qui change selon qu'« on est en » algèbre ou en arithmétique décrédibilise son inventeur par le seul fait de cette distinction floue et arbitraire, à mon humble avis.

Dom a écrit:

La notation polonaise inversée est-elle vraiment moins ambiguë ?

Il y a de facto une seule règle de lecture. Contre plusieurs pour les présentations ordinaires.

Dom a écrit:

22-2 pose un problème, non ?

La majorité des fonctions à deux variables apparaissant en maths ne sont pas commutatives. Le problème n'a rien à voir avec la notation utilisée. C'est l'arbitraire qui a voulu que $4 - 7 =-3$ et non pas $3$ ("on retranche $a$ à $b$" se note $b-a$ et non pas $a-b$) et certainement pas une prétendue logique intrinsèque aux opérations. Donc on indique ce qu'on fait de l'argument en haut de la pile et de celui qui suit.
Les égalités entre $a\: b\: +$ et $b\: a \: +$, $a\: b\: *$ et $b\: a\: *$, $a\: b\: + \: c \: +$ et $\: a \: b \: c \: + \: +$ pour tous nombres $a, b, c$ sont des théorèmes mathématiques et non pas des choses qui vont de soi même si la notation employée invite à le penser.

Dom a écrit:

Il faut un symbole séparateur et j’ai toujours vu qu’il s’agissait de...l’espace.
Rien de pire pour lire une expression que de regarder à la loupe les espaces.

Il y a toujours des astuces pour s'en sortir. Par exemple déclarer que si $c$ est un caractère et $s$ une chaine de caractères, $cs'$ désigne la chaîne de caractères obtenue en collant $c$ à la gauche de $s$. Comme ça
3234 117 * devient 3243'''117''*, 88 2 / 1 21 + * devient 88'2/121''+* et 88 2 1 21 + * / devient 88'2121'+*/

Dom a écrit:

Je crois qu’il faut arrêter avec cette notation qui retirerait tous les problèmes du monde.

Aucune notation n'est bonne. Ce qui compte est de documenter ce qu'on fait.
En notation disons traditionnelle il devrait y avoir des parentèses partout par défaut, et ensuite afin d'alléger les notations, de dire

1°) Pour chaque couple d'opérations $\clubsuit,\diamondsuit$ qui est prioritaire sur qui:
$x \clubsuit y \diamondsuit z$ est il à interpréter comme $(x \clubsuit y) \diamondsuit z$ ou bien comme $x \clubsuit (y \diamondsuit z)$ ?

2°) Pour chaque opération $\heartsuit$, est-ce que $a \heartsuit b \heartsuit c$ désigne $a \heartsuit (b \heartsuit c)$ ou bien $(a \heartsuit b) \heartsuit c$ ?
Les opérations à deux arguments des maths usuelles ne sont pas toutes associatives!! Penser à la soustraction, la division...

Ne peut-on tout simplement pas bannir du collège les exercices du type : Calculer 80÷20×4÷2. ?

Quelqu'un a-t-il vu un intérêt à une telle expression ?

Sommes-nous d'accord que le sens à donner à cette écriture est complètement arbitraire, ne repose sur aucune logique universelle et que ce sens varie suivant le pays où l'on se trouve ?

De plus, sachant que malheureusement l'élève moyen persiste, malgré les remarques incessantes et acharnées auquelles il réagit avec toujours le même air interloqué, à écrire sur son cahier des égalités fausses face à une telle expresssion (du type 4×2×3=8=24 etc), et bien, persister à proposer ces exercices, n'est-ce pas, de fait, l'entraîner et l'exercer à écrire des choses fausses, sans utilité en contrepartie ?

On est en algèbre où en arithmétique ? Peut-être même en physique ! X:-(

La vraie ambiguïté à mon sens, c'est l'utilisation de la multiplication implicite car certains considèrent que la multiplication implicite devrait avoir la même priorité que la multiplication, d'autres que non. Personnellement, je trouve qu'il faut bannir la multiplication implicite que l'on peut aussi confondre avec la notation fonctionnelle, après tout 2(2+2) pourrait être considéré comme la fonction constante 2 appliquée à l'argument 2+2. Bien sûr on n’écrira jamais 2(2+2), mais si j’écris m(x+y) et f(x+y), quelle convention adopter ? C'est le contexte qui permettra de le déduire, mais pour cela encore faut-il comprendre, ce qu'un logiciel de calcul ne fait pas, et dans un contexte scolaire, il faut avoir en tête que cela peut causer des difficultés supplémentaires à certains élèves/étudiants.
Lorsque les opérations sont explicitées, il n'y a plus d’ambiguïté, la convention utilisée par les interpréteurs est que les opérations +, -, *, / sont left-associatives, alors que ^ ou ** est right-associative. Ces règles de priorité sont explicitées dans un fichier d'extension y ou yy lorsque le logiciel utilise un interpréteur généré par GNU bison

Je propose d'abolir la classe de cinquième en France et de fermer la parenthèse :-D

Bonjour