Troisième théorème de Mertens
Bonjour,
Dans l'article de Wikipedia consacré aux Théorèmes de Mertens est fournie la référence de l'article initial extrait du Journal de Crelle je crois (consultable ici Article de Mertens ou bien en suivant le lien de l'article et en notant page 50 en-haut).
Je ne parle pas l'allemand mais je ne vois pas la correspondance.
Quelqu'un qui lit l'allemand dans le texte pourrait-il me fournir la page...
Cordialement,
Aline
Dans l'article de Wikipedia consacré aux Théorèmes de Mertens est fournie la référence de l'article initial extrait du Journal de Crelle je crois (consultable ici Article de Mertens ou bien en suivant le lien de l'article et en notant page 50 en-haut).
Je ne parle pas l'allemand mais je ne vois pas la correspondance.
Quelqu'un qui lit l'allemand dans le texte pourrait-il me fournir la page...
Cordialement,
Aline
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Réponses
Je n'ai pas l'impression que la constante $\mathfrak C$ soit déterminée exactement, on trouve juste une valeur numérique de $H$ et de $\mathfrak C - H$, qui est la constante apparaissant page 8 dans
Il se trouve que la constante $\mathfrak C - H$ est la constante de Meissel-Mertens, pour laquelle il ne semble pas exister de formule simple.
Merci énormément Poirot pour ce travail linguistique.
Mais le produit du Théorème de Mertens dans wikipedia est sur les $1-\frac{1}{p}$ alors que celui de l'article semble être le produit de leurs inverses. L'un se déduit-il de l'autre ? (désolée de n'avoir pas les compétences pour me dépatouiller seule de cela).
Enfin, petite question, pourquoi le Rosser et Schoenfeld joint ne fait-il pas référence au théorème de Mertens, dans le cas où il s'agirait du même produit (corollaire 3.27 du théorème 7 p.70) ?
Je vais me déconnecter quelques temps, désolée pour le temps de réponse.
Cordialement,
Aline
Pour Rosser et Schoenfeld, il s'agit effectivement du même produit, mais le résultat donné est légèrement plus précis que le théorème de Mertens, le reste est en $\frac{1}{\log^2x}$ au lieu de $\frac{1}{\log x}$, et la constante est explicite !
Bonne journée.
Aline
Ils ont ainsi trouvé des encadrements de très bonnes qualités de toutes les fonctions de nombres premiers usuelles.
Quelques progrès ont été accomplis depuis les années 60, notamment par Pierre Dusart, essentiellement grâce à l'amélioration des performances des ordinateurs qui ont permis de pousser encore plus loin la découverte de plus en plus de zéros de $\zeta$ sur la droite $\sigma = \frac{1}{2}$.
Ces résultats ont été également généralisés aux fonctions de nombres premiers en progressions arithmétiques, notamment par McCurley, Ramaré et Dusart.
La recherche d'estimations explicites en théorie multiplicative des nombres est aujourd'hui très active, avec de nouveaux talents comme Trudgian ou Platt, et j'invite tout lecteur curieux à consulter l'excellent site de Ramaré suivant : http://iml.univ-mrs.fr/~ramare/TME-EMT/accueil.html