Groupes d'ordre pq
Bonjour à tous
Voici une preuve qui me soulève deux petites questions.
- Au niveau de l'application $\theta$ définie à la fin, pourquoi a-t-on le droit de partir directement du fait que c'est une bijection et de se contenter de prouver que c'est un morphisme (pour aboutir au constat que c'est un isomorphisme) ?
- Au final, au niveau de ce fameux produit semi-direct, comme le choix de l'image d'un générateur de $\Z/p\Z$ détermine le morphisme $\varphi$, cela veut dire qu'il y aura potentiellement $p$ produits semi-directs différents ? (bien qu'ils soient en fait isomorphes entre eux comme le conclut la preuve...)
Merci !
Voici une preuve qui me soulève deux petites questions.
- Au niveau de l'application $\theta$ définie à la fin, pourquoi a-t-on le droit de partir directement du fait que c'est une bijection et de se contenter de prouver que c'est un morphisme (pour aboutir au constat que c'est un isomorphisme) ?
- Au final, au niveau de ce fameux produit semi-direct, comme le choix de l'image d'un générateur de $\Z/p\Z$ détermine le morphisme $\varphi$, cela veut dire qu'il y aura potentiellement $p$ produits semi-directs différents ? (bien qu'ils soient en fait isomorphes entre eux comme le conclut la preuve...)
Merci !
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Réponses
Lorsque $p$ divise $q-1$, il y a $p-1$ morphismes non triviaux de $\Z/p\Z$ dans $(\Z/q\Z)^*$ (autant que d'élément d'ordre $p$) donc $p-1$ produits semi-directs ensemblistement différents, en plus du morphisme trivial qui correspond au produit direct et n'est pas isomorphe aux précédents.
Merci!
NB : $N\rtimes{H}$ et $N\times{H}$ ont le même ensemble sous-jacent et donc le même cardinal c'est cela non?
@ raboteux : oui, ils ont le même cardinal, mais il est faux que toute application d'un ensemble fini vers un ensemble fini de même cardinal est une bijection. Ici, c'est une bijection parce que c'est évident que c'est une bijection, pour ainsi dire. Aussi évident que pour l'application $(x,y)\mapsto(x,2y)$ de $\R^2$ dans $\R^2$, par exemple.
Pour ta mise en garde: il me semble qu'avec un raisonnement par cardinalité égale, il faut au moins prouver l'injectivité ou la surjectivité c'est cela?
A mon sens un bon énoncé ressemblerait plus à "Soit $p,q$ deux premiers. Si $p\nmid q-1$, tout groupe d'ordre $pq$ est isomorphe à $\Z/pq\Z$. Si $p\mid q-1$, il y a un poduit semi-direct $G=\Z/q\Z\rtimes \Z/p\Z$ tel que tout groupe d'ordre $pq$ est isomorphe à $G$ ou à $\Z/pq\Z$".
Si on veut être plus concis et rester dans la précision : " $p,q$ deux premiers. Alors il existe au plus deux classes d'isomorphismes de groupes d'ordre $pq$"
Ou si on veut s'amuser : "Soit $G_1,G_2,G_3$ des groupes d'ordres $pq$. Alors deux d'entre eux sont isomorphes".