Fonctions propre du laplacien 1D borné
Bonjour
En considérant une équation d'ondes 1D en milieu borné, je peux me ramener à deux edo dont l'une est une équation aux valeurs propres du laplacien.
Imposant du Dirichlet homogène aux deux extrémités de mon segment, je peux calculer les valeurs propres qui sont les fréquences de résonance du système, des multiples d'une fondamentale. Le spectre est discret car domaine borné, mais je ne vois pas vraiment comment calculer les fonctions propres associées.
Je n'ai pas trouvé un tel sujet sur le forum, sauf erreur de ma part.
Merci d'avance
En considérant une équation d'ondes 1D en milieu borné, je peux me ramener à deux edo dont l'une est une équation aux valeurs propres du laplacien.
Imposant du Dirichlet homogène aux deux extrémités de mon segment, je peux calculer les valeurs propres qui sont les fréquences de résonance du système, des multiples d'une fondamentale. Le spectre est discret car domaine borné, mais je ne vois pas vraiment comment calculer les fonctions propres associées.
Je n'ai pas trouvé un tel sujet sur le forum, sauf erreur de ma part.
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Réponses
Supposons que ton domaine soit $[0,\pi]$ (tu renormaliseras après), tes fonctions propres sont les fonctions $x \mapsto \sin(nx)$ pour $n\geq 1$ et les valeurs propres associées sont les $n^2$.
C'est en fait l'idée de base qui a poussé à l'invention des séries de Fourier. La base (hilbertienne) de Fourier, diagonalise le Laplacien.
Remarque : le cas d'un domaine de la forme $[a,\, b]^d$ est un des seuls cas (le seul que je connaisse) où l'on peut obtenir une expression explicite des fonctions propres.
Si $\lambda = 0$, on a $u(x) = A + Bx$ et en utilisant $u(0) = u(1) = 0$ il vient $A = B = 0$ donc $u=0$, ce n'est pas possible.
Si $\lambda \neq 0$, on a $u(x) = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x)$ avec $\omega^2 = \lambda$. En utilisant $u(0) = u(1) = 0$ il vient $A = 0$ et $ B \sin \omega = 0$. Puisqu'on veut que $u$ soit non nulle, on doit avoir $B \neq 0$ donc $\sin \omega = 0$. Or les solutions de $\sin \omega = 0$ sont exactement les $\omega = n \pi$ avec $n$ un entier. Puisque $\lambda \neq 0$, $n \neq 0$ et par parité on se restreint à $n \geq 1$. On a alors $\lambda = \omega^2 = n^2 \pi^2$.
Finalement, les valeurs propres sont les $n^2 \pi^2$ avec $n \in \mathbb N^*$ et les fonctions propres associées sont les $\sin( n \pi x)$.
Maintenant je soumets une question complémentaire, si c'est ok pour vous.
On conserve le DIrichlet homogène à droite en 1, mais on impose en 0 une excitation sinusoïdale $\cos(\omega t)$, censée se propager à la vitesse disons 1, pour conserver le même problème aux valeurs propres sans renormaliser.
On regarde le régime harmonique (les ondes sont émises en continu, et se réfléchissent, interfèrent, ect), et on regarde pour chaque point de l'espace le spectre correspondant. On voit que cela donne, en un point de l'espace donné:
-1 pic sur la fréquence source $\omega$
-des pics sur les $f_n(x)=\sin(n\pi x)$ pour le $x$ fixé (fréquences de résonance du système indépendante de l'excitation, dont l'amplitude associée dépend de l'espace).
Si on choisit $\omega=f_n$ pour un $n$ donné, il y a résonance et l'amplitude du signal dans le domaine ouvert borné explose.
Sinon, l'énergie du signal est répartie entre le pic en $\omega$ et les $f_n$ voisines de $\omega$, avec une amplitude décroissante en s'éloignant de $\omega$. Ces amplitudes forment manifestement une enveloppe gaussienne discrète centrée en $\omega$.
.
J'ai l'impression que cette répartition des amplitudes sur les $f_n$ ne dépend pas de la valeur de $\omega$ et sont une caractéristique intrinsèque de la géométrie du système, donc du premier problème.
Ma question est alors: comment trouver ces amplitudes là, associées aux $f_n$?
Mais mon impression est que ça ne dépend pas de l'excitation, dont pas de la propagation, et donc que ce n'est pas réellement issu de la partie temporelle du système. C'est en ça que je faisais l'hypothèse que c'est lié au pbm du Laplacien.
En gros, comme si le premier pbm (vp du laplacien) détermine la structure sous-jacente (ce qui est déjà le cas pour les $f_n$) avec également les modalités de répartition d'amplitudes sur les $f_n$, qui bien-sûr n'apparaît pas spontanément sans excitation.
Et c'est dès lors qu'on fourni l'énergie au système via l'excitation, que cette dernière va se répartir, en fonction de ses caractéristiques, selon ce que la structure du système impose.
Ce sont justement ces modalités de répartition de l'amplitude des $f_n$ qui m'échappent, quelles sont leurs proportions entre elles (et non leur valeur "absolue" qui va clairement dépendre de l'amplitude de l'excitation initiale, on est d'accord).
En tout cas merci de votre intérêt pour ma question.
Alors la question concerne cette répartition en cloche sur les $f_n$ voisines de $\omega$: as-tu une idée de comment la déterminer (en fonction aussi de l'excitation je suis d'accord) ?
Mais les amplitudes discutées plus haut, du spectre, m'échappent. Je pense que c'est à dériver des considérations de l'énergie du système, mais je ne vois pas comment. D'autant qu"il y a un terme source non nul (énergie constamment apportée).
Imaginons qu'on cherche la solution de
$$ \partial_{tt}^2 u(t,x) - \partial_{xx}^2 u(t,x) = f(x) \sin (\omega t),\quad t>0,\ 0 < x < 1 \\
u(t,0) = u(t,1) = 0 \\
u(0,x) = \partial_t u(0,x) = 0$$
On décompose la solution $u$ ainsi que $f$ sur les modes propres (normalisé):
$$u(t,x) = \sum_{n \geq 1} u_n(t) \sqrt 2 \sin(\pi n x), \quad f(x) = \sum_{n \geq 1} f_n \sqrt 2 \sin(\pi n x) $$
En injectant cela dans l'équation et en se servant des conditions initiales, on trouve que pour tout $n \geq 1$
$$u_n^{\prime \prime}(t) + n^2\pi^2 u_n(t) = f_n \sin(\omega t) \\
u_n(0) = u_n^\prime(0) = 0.$$
Si $\omega \neq n \pi$, on trouve
$$u_n(t) = \frac{[n\pi\sin(\omega t)-\omega \sin(n\pi t)]f_n}{n\pi(n^2\pi^2 - \omega)}$$
donc finalement la solution est donnée par
$$u(t,x) = \sum_{n \geq 1} \frac{[n\pi\sin(\omega t)-\omega \sin(n\pi t)]f_n}{n\pi(n^2\pi^2 - \omega)} \sqrt 2 \sin(\pi n x)$$
Et dans mon cas on aurait f(0)=1 et f(x)=0 ailleurs...
Le soucis est par ailleurs le suivant: je peux faire une résolution analytique de mon système en cherchant la solution sous forme d'onde stationnaire de fréquence celle de la source. Mais cela impliquerait qu'aucun harmonique n'est excité. Or numériquement je trouve que les harmoniques le sont, comme décrit plus haut (en dépendent de la fréquence source).
Est-ce correct? la solution totale est-elle donc bien composée d'un pic en fréquence source est de pics sur les harmoniques voisins?