Vaissaux spatiaux et relativité restreinte

QED · May 2019

Je viens de tomber sur un fil où 2 intervenants du forum débattaient de la solution au problème suivant:
Dans le référentiel terrestre, deux super-vaisseaux spatiaux ponctuels distants de 4 millions de km allant chacun à la vitesse (dans le référentiel terrestre) de 200 000 km/s foncent l'un vers l'autre. Au bout de combien de temps (terrestre) a lieu le choc?

Le fil a finalement été fermé sans qu'aucune réponse claire ne soit donnée.
Après avoir réfléchi à la solution de l'un et de l'autre j'ai planché dessus moi aussi et voulais donc faire part de ce qui me semble être le bon résultat. Libre à chacun de me reprendre si je me trompe, mes souvenirs sur le concept en question n'étant plus tout frais

L'un considérait que la collision ayant lieu à mi-chemin, soit après 2 millions de km parcourus par le vaisseau à 200 000 km/s on avait donc un temps de 10 secondes dans le référentiel terrestre pour le choc. (soit environ 7.4 s dans le référentiel du mouvement vu le paramètre gamma). Si ce raisonnement est tout à fait valable dans le cadre classique, on ne peut d'après moi pas l'appliquer ici. La raison est que comme tous les référentiels sont sensés être équivalents, le raisonnement en question équivaut à se placer dans le référentiel fixe du vaisseau n°1 avec un vaisseau n°2 lui fonçant dessus à 400 000 km/s ce qui est impossible cette vitesse étant supérieure à c.
C'est peut-être là le point conceptuel le plus difficile à comprendre dans l'exercice. On peut envisager un vaisseau unique parcourant 2 millions de km à 200 000 km/s en 10 s mais il est physiquement interdit de symétriser la situation pour calculer un temps de collision.

L'alternative consiste à se placer dans le référentiel fixe du vaisseau n°1 et de calculer par addition des vitesses relativistes, la vitesse avec laquelle le 2e vaisseau lui fonce dessus. Un des 2 intervenant l'avait fait et trouve 277 000 km/s. Je suis d'accord avec lui sur le calcul en question.
A cette vitesse, cela donne un temps de 14.4 s pour parcourir 4 millions de km. C'est également le temps dans le référentiel terrestre.

Pour déterminer le temps dans le référentiel mobile (qui se déplace à 277 000 km/s) il faut ensuite y recalculer gamma. Cela avait été fait sur le précédent fil mais en utilisant comme vitesse de déplacement 200 000 km/s. Par ailleurs le temps dans le référentiel mobile est forcément plus court que dans le référentiel terrestre, aussi les 19.35 s calculées dans l'ancienne discussions ne peuvent pas être exactes. J'arrive de mon coté à un temps pour la collision de 5.5 secondes dans le référentiel mobile.

Voilà en ce qui concerne ma vision du problème mais, si quelqu'un avait remarqué un point délicat dans mon raisonnement merci de m'en faire part.

QED

Titi le curieux · May 2019

Salut,
D'une part, oui évidemment dans le référentiel il ne se passe que 10 secondes.
Pour la vitesse, je crois qu'on est ok, grosse flemme de rentrer tout les chiffres sur la calculette, j'ai pris la vitesse de la lumière à 300 000 km/s et donc ta vitesse égale aux deux tiers de celle-ci. Pour ce qui est de la vitesse relative des vaisseaux, sauf erreur, avec mes conventions, j'arrive à $c \sqrt{1-(5/13)^2}\approx 276.92 km.s^{-1}$ (donc je crois qu'on se rejoint là-dessus et qu'on a utilisé les mêmes équations, et désolé, la première fois j'ai fait 9+4=14, je ne suis pas très doué en calcul mental!).
En ce qui concerne le temps propre dans un vaisseau, c'est plus problématique, je ne me suis pas du tout embêté à poser des grosses équations, j'ai utilisé la métrique de Minkowski, et ça donne ça: $\tau= \sqrt{t^2-\frac{d^2}{c^2}}$ où ici t=10 secondes, d=2 millions de km et c 300 000 km/s, ce qui me donne environ 7.45 secondes, ça devrait être comparable avec un c plus précis. Tu as calculé comment cette histoire de 5.5 secondes? Je crains qu'il y ait un problème en ce qui concerne les distances (et oui, les 19.35 secondes, c'est du bullshit).

christophe c · May 2019

Je réagis à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1808676,1808676#msg-1808676

ne pouvant que poster dans L et F.

Attention: la question est claire: on demande une durée [large]dans un référentiel précis[/large], qui se calcule comme suit:

$$ Fin - Debut $$

Le début est $0$ et la fin est $10$. C'est aussi bête que ça, et le mouvement du vaisseau1 est $t\mapsto 200000t - 200000$ et le mouvement du vaisseau2 est $t\mapsto 2000000 - 200000t$.

C'est seulement si on change de référentiel que l'histoire est raconté différemment.

La relativité restreinte SE DEMONTRE (voir posts précédents), elle n'a rien de sulfureuse. Il s'agit de PASSER D'un référentiel à un AUTRE pour raconter la MEME histoire qui ne se fait plus de la même façon.

Titi le curieux · May 2019

@CC, je te rejoins tout-à-fait en ce qui concerne le fait que la relativité restreinte se démontre, et je trouve même la phrase concernant l'histoire qui est conservée par changement de référentiel très bien dite. Mais, là, je dirais que le sujet, c'est plus de résoudre un problème en supposant la théorie déjà acquise (et si QED galère, on lui demandera comment il compose les transformations de Lorentz, mais on en est pas là).

YvesM · May 2019

Bonjour,

A @QED : ton calcul dans le référentiel terrestre est correct. Dans le référentiel d’un des vaisseaux ton raisonnement est incorrect : tu écris qu’on ne peut composer les vitesses puisque $2 V \geq c$. C’est faux. On peut bel et bien composer les vitesses mais puisque les vitesses en question sont proches de la vitesse de la lumière dans le vide, il faut utiliser la théorie de la relativité restreinte. La formule donnant la composition des vitesses est alors compatible avec $c.$
Tu devrais écrire les équations littérales dans les deux référentiels, terrestre et dans un vaisseau, et montrer que le choc à lieu au même endroit. Puis retrouver la symétrie entre les vaisseaux. Quelle est la durée du vol avant le choc dans chacun des référentiels ?

GaBuZoMeu · May 2019

@QED : il aurait été honnête de donner le lien sur la discussion originale.
Il aurait aussi été honnête de signaler qu'une réponse complète et argumentée a été donnée ici.
D'une part, toutes les données étant dans le référentiel terrestre, il n'y a aucun souci à mener le calcul classique, comme ça t'a déjà été dit.
D'autre part, si on veut jouer le jeu du changement de repère pour se placer dans le repère d'un des vaisseaux, on peut très bien le faire (à condition de le faire correctement !) et on retombe exactement sur la même conclusion, comme il est démontré dans le deuxième message mis en lien ?

Quel intérêt de relancer les clowneries de Ltav ?

QED · May 2019

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

GaBuZoMeu
Rien de malhonnête, je n'avais pas vu ce post.
Fair enough, ça me semble correct, tout est clair.

> Quel intérêt de relancer les clowneries de Ltav ?

La question qui reste ouverte pour moi est de savoir où le bat blesse dans le raisonnement de Ltav. Montrer en quoi un raisonnement est incorrect n'est pas forcément dépourvu de sens. En l'occurrence il raisonne par composition des vitesses pour trouver une vitesse relative de 277 000 km/s. En se plaçant dans un référentiel fixé sur un vaisseau et en appliquant donc cette vitesse sur un trajet de 4 millions de km cela donne 14.4 s de temps de collision. Quelque chose est mal posé puisque le résultat diffère des 10 secondes (dans le référentiel fixe) trouvées dans le lien que tu donnes. Ma question est de savoir ce qui est mal posé dans ce raisonnement.

Edit.
En revérifiant le calcul j'ai compris :
la durée se calcule conformément à la transformation de Lorentz suivant: $t_1'-t_0'=\gamma(1+B^2)l/2v$
et non: $t_1'-t_0'=(1+B^2)l/2v$ comme l'avait fait Ltav

Titi le curieux · May 2019

@CC :Ah... ouais... j'avais oublié l'adjectif "terrestre" à ma première phrase (pourtant je jure que j'y ai pensé très fort :-D ). C'est à cause de ça le rouge et gras?

@QED : J'ai bien vu qu'après coup, tu as dit avoir compris, mais quand tu dis "14.4 secondes dans le référentiel fixe", ça veut dire la durée mesurée dans un des vaisseaux entre son "instant place intiale" (le point occupé en t=0 dans le référentiel terrestre) et "son instant et place" quand son horloge s'arrête définitivement? Si c'est le cas, je campe sur ma position: environ 7.45 secondes! (et j'espère que tu as trouvé un truc comparable après rectification)
La vitesse que tu donnes est bonne, mais le coup des 4 millions de km parcouru par l'autre vaisseau dans le référentiel du premier est une boulette à deux titres:
1) "l'instant et place" du vaisseau 2 en t=0 dans le référentiel terrestre n'est pas "l'instant et place" du vaisseau 2 en t'=0 dans le référentiel du vaisseau 1 (oui c'est obscur et mal dit, mais si tu as étudié la relativité restreinte, tu peux te faire une idée, tu as intérêt à résoudre ce problème toi-même et au-delà des objets, d'étudier des trajectoires, i.e des courbes paramétriques dans "$\mathbb{R}^4$", par chance, ici, ce sont de belles droites toutes simples et tu peux même te contenter de travailler dans "$\mathbb{R}^2$")
2) Il n'y a pas que le temps qui change d'un référentiel à l'autre, il y a aussi des longueurs! (bah ouais!)

Remarque: quand je dis "instant et place" ça désigne un point, dans mes souvenirs, on disait juste "instant", mais je me suis dit (peut-être à tort) que ça ferait moins confus ainsi (je reconnais, ça l'est quand même).

QED · May 2019

C'est précisément le 2) qui manquait dans mon raisonnement.
Du coup après avoir refait les calculs je suis d'accord avec toi : 7.45 s
Merci pour ces rectifications qui ont éclairé ma lanterne.

Vaissaux spatiaux et relativité restreinte

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