Question sur la k-connexité d'un graphe

Après réflexion, je propose cette démonstration:
Si $G\setminus \{e\}$ est non connexe alors l'inégalité est immédiate car $K(G\setminus \{e\}) = 0$ donc je suppose la connexité de ce graphe
Il existe un ensemble $S$ de sommets de $G$ de cardinal $K(G)$ qui sépare G (c.a.d G\S est un graphe non connexe)
mais alors il faut distinguer deux cas:
Soit $S$ contient l'une des extrémités de $e$ mais alors $S$ sépare $G\setminus \{e\}$.
Soit $S$ ne contient aucune des extrémités de $e$ et alors $e$ est une arête de $G\setminus \{e\}$ et ses extrémités sont dans la même composante connexe de $G\setminus \{e\}$ et $(G\setminus \{e\})\setminus\{S\}=(G\setminus \{S\})\setminus\{e\} $ n'est pas connexe (ôter une arête d'un graphe non connexe ne le rend pas connexe)
Conclusion $S$ sépare bien $G\setminus \{e\}$ donc $K(G\setminus \{e\})\leq K(G)$

J'ai utilisé dans cette démonstration la commutativité des opérations de suppression d'arêtes et de sommets mais je m'aperçois que je ne sais pas la démontrer : quelqu'un aurait-il une idée ?