Sylvain rappelait que nous sommes à la veille de l'année Euler (tricentième anniversaire de sa naissance)
il me semble que c'est l'occasion d'exhiber quelques séries numériques simples que le chercheur suisse connaissait et qui peuvent figurer parmi les plus belles formules (telles que Victor-Emmanuel les aiment) mais qui furent proscrites par les successeurs d'Euler (Cauchy et Weierstrass) alors qu'elles étaient parfaitement vraies
il s'agit tout simplement des séries de Riemann alternées d'ordre 0 et - 1 (exposants égaux à 0 puis - 1) concernant les entiers naturels puis les entiers impairs
concernant les entiers premiers il est d'ailleurs possible empiriquement de déterminer la limite de la même série alternée;
elle est (sans doute) irrationnelle et proche de 1,5115589.....
valeur prise par la série alternée de Bertrand 2ln2 - 3ln3 + 4ln4 - 5ln5 +........
puisque le nième nombre premier est équivalent à n.lnn
Je ne résiste pas à l'envie de poster cette belle formule que j'ai démontrée de tête cette nuit dans mon lit vers 1h du matin alors que je n'arrivais pas à dormir:
Désolé il manque une petite parenthèse fermante dans la formule précédente...
<BR>
<BR>Et deux jolis résultats :
<BR>
<BR>En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Et bien si dans un evn, toutes les normes sont équivalentes, alors on est en dimension finie!
<BR>
<BR>Encore :
<BR>En dimension finie, compact équivaut à fermé borné (dans un evn).
<BR>Et on a le théorème de Riesz : si la boule fermée de centre 1 est compacte, alors l'espace est de dimension finie! et à partir de cela on doit pouvoir montrer, je pense que si tout fermé borné est compact, alors l'espace a une dimension finie!<BR>
Ouais c'est ce que j'essaie mais si alpha est irrationnel les pôles ne sont pas en nombre fini. Enfin on doit pouvoir s'en tirer avec un argument de continuité.
Une petite bourde de VIctor-Emmanuel :" si tout fermé borné est compact c'est qu'on est en dimension finie".
Ceci n'a pas de sens caren dimension infinie, le bornage dépend de la norme donc on ne peux parler de parties bornées sans préciser la norme !!
Sinon un résultat que j'aime bien : soit p un nombre premier et E un ensemble infini, alors E peut être muni d'une structure de corps algébriquement clos de caractéristique p.
J'ai un souci, je n'arrive pas à démontrer un développement asymptotique que, d'ailleurs, je trouve plutôt joli :
$$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+o(1)$$ quand $s$ tend vers 1 par valeurs supérieures.
J'essaie de majorer, pour ce faire, $\frac{1}{n^s}-\frac{1}{t^s}$ pour $t\in[n;n+1]$ ; les accroissements finis ne me sont d'aucune utilité si je veux invoquer une convergence normale sur ]1;2] ; en revanche si je dois pouvoir majorer l'intégrale entre $n$ et $n+1$ de cette expression, en utilisant la convexité de l'application qui à $x\geq1$ associe $\frac{1}{x^s}$ si $s>1$. Mais je bloque, même en essayant de montrer une convergence uniforme seulement de la série $\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{t^s})dt$ sur ]1;1,1].
Ou toute autre méthode n'invoquant pas la convergence de séries de fonctions est bienvenue.
On est dans un evn ; on a donc une norme, et si la boule unité est compacte, alors on est en dimension finie et toutes les normes sont équivalentes!
Donc si tout fermé borné est compact pour la norme de départ, alors c'est vrai pour toutes les normes et on est en dimension finie.
Bonsoir a tous et bonne année.
<BR>
<BR>Personnellement pour moi les plus beaux résultats sont les résultats abstraits et donc toutes les formules concernant des nombres sont "moches", seule l'intelligence permettant de les démontrer est belle.
<BR>
<BR>Un beau résultat abstrait
<BR>
<BR>toute mesure sigma-finie sur B(R) se décompose en trois mesures étrangères deux à deux. Une mesure possédeant une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, une mesure chargeant un nombre dénombrable de points de R (somme de Dirac) et une mesure diffuse chargeant un ensemble non dénombrable (et donc pour lequel le poids d'un point est nul).
<BR>
<BR>Cette troisième mesure je la trouve très belle car elle se cache à notre intuition.<BR>
J'ai trouvé une jolie formule, pas très compliquée (pas du tout, en fait ; il suffit de connaître son théorème d'intreversion somme intégrale...) :
$$\displaystyle{\int_0^\infty\frac{t^s}{e^t-1}dt = \zeta(s)\Gamma(s)}$$ pour $s>1$.
Et puis, au-delà du lemme de Lebesgue, qui dit que si $f$ est réglée sur $[a;b]$ alors :
$$\int_a^b f(t)sin(nt)dt \longrightarrow 0$$, on a aussi, avec la même $f$ :
$$\int_a^b f(t)SIN(nt)dt \longrightarrow \frac{2}{\pi}\int_a^b f$$
où $SIN$ désigne la valeur absolue de sinus, que je ne sais écrire en LaTeX...
Pour montrer ces deux lemmes, je passe par les fonctions constantes, puis en escalier par linéarité, puis réglées par densité.
Avez-vous une méthode plus directe?
Merci!!!
Je vous rappelle que le titre du message n'est pas simplement "jolies formules" mais parle aussi de "beaux théorèmes"...
Et je vois pas beaucoup d'algèbre ni de géométrie dans tout ça... les intégrales, ça fait pousser de $\pi$ et des $e$ comme par magie, mais c'est pas ultime en soi. D'ailleurs, une intégrale, de base, c'est une forme linéaire sur un espace vectoriel particulier, faut voir les choses de façon un peu plus abstraite des fois. C'est pas parce qu'on a inventé ça en cherchant à calculer l'aire sous le graphe d'une fonction qu'il faut se limiter au point de vue "ouais, on va intégrer une fonction sur un segment, youhou".
Dans d'autres domaines, on note ça $\mathbb{E}$, $\langle .,.\rangle$ ou même $Tr$, eh oui.
Allez, sortez vos théorèmes de géom ou d'algèbre commutative !
avec: $S$ surface de Riemann compacte connexe
$M$ division polygonale de $S$
$V$ le nombre de sommets, $E$ le nombre de côtés, et F le nombre de faces de la division plygonale.
$\chi(S)$ est donc la caractéristique d'Euler-Poincaré de $S$ et on a:
rebonjour, lire: F le nombre de faces de la division {\bf polygonale }
Pour ce prix, j'ajoute la formule d'Hurwitz:
Si $S$ est la surface de Riemann d'une équation algébrique irréductible
$$A(z,w)=0$$
de degré $n$ suivant $w$, avec $n_k$ l'indice de ramification au point $a_k$ si c'est un point de ramification pour $S$, le genre de $S$ est donné par:
Gilles, que désigne $r$ dans ta dernière formule ? Le nombre de points de ramification de $S$ ?
Puisque tu semblles calé sur les surfaces de Riemann, je vais faire remonter mon post "Fonctions multiformes".
Et pour rester dans le sujet: le théorème de Liouville (toute fonction holomorphe sur $\C$ et bornée est constante), qui admet comme corollaire celui de D'Alembert-Gauss.
Un joli résultat faisant l'objet d'un exercice de ma petite soeur, en 6ème ;-)
Prendre un nombre au hasard entre 100 et 999 ; le dédoubler en un nombre à 6 chiffres (ex : 567 devient 567567) ; diviser ce nombre par 7, re-diviser par 11, et encore par 13. Et...? On tombe sur le nombre de départ.
C'est très simple, mais ma soeur a du mal à comprendre... Peut-être que je n'explique pas bien???
Un nombre premier p est appelé un nombre premier de Sophie Germain si 2p + 1 est aussi un nombre premier. Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain, mais ceci n'a pas encore été démontré.
J'avoue être saoulant: {\it tout anneau artinien est noethérien}
Autre théorème "joli": toute question dont au moins l'une des 2 alternatives (oui ou non) est décidable (en ce sens qu'on peut prouver que "vraie" cette aleternative est prouvable) est "de façon effective" équivalente à une question de la forme: {\it l'équation diophantienne E a-t-elle une solution?} où E est une équation diophantienne
Une équation diophantienne est une équation du genre $P(X_1..X_n)=0$, avec $P$ polynome sur les indéterminées $X_1,..X_n$, et on cherche des solutions qui soient des nombres entiers
Etant donnée un ensemble $A\subseteq \N$. Il existe alors un ensemble $B\in \{A;\N -A\}$ et un ensemble infini $T\subseteq \N$ tel que pour toute partie finie $F$ de $T$ la somme des éléments de $F$ est dans $B$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
On peut prouver que, en l'absence de l'axiome du choix, il est crédible que:
{\it Etant donné un ensemble $A\subseteq W$. Il existe alors un ensemble $B\in \{A; W-A\}$ et un ensemble infini $T\subseteq \N$ tel pour toute partie infinie $G$ de $T$ est dans $B$.}
(franchement, celui-ci c'est de la balle, lol)
$W$ est l'ensemble des parties infinies de $\N$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Vous oubliez (je viens de lire tout le fil) les théorèmes tellement célèbres qu'ils en sont devenus transparents:
* Toute application de $\C$ dans $\C$ dérivable une fois est indéfiniment dérivable
* Ne parlez pas de $\pi$ ça cache la beauté des phénomènes (naturels?): aire du disque=périmètre fois rayon divisé par 2
* Si la mesure de Lebesgues de $A\subseteq \R$ est non nulle alors il existe un ouvert $U$ contenant $0$ tel que tout élément de $ U$ peut s'écrire $x-y$ avec $x$ et $y$ dans $A$
* Et l'époustouflant théorème de Brouwer: si $E\subseteq \R^n$ est compact et convexe alors tout application continue de $E$ dans $E$ admet un point fixe.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Si A est noetherien,$A[X_1,\cdots,X_n]$ l'est aussi.
Soit $A$ et $B$ deux ensembles de mesure de Lebesgue non nulle alors $A+B$ contient un intervalle.
Ou encore tout groupe d'ordre $p^2$ avec $p$ premier est abélien.
Etant donnée un ensemble $ A\subseteq \mathbb{N}$. Il existe alors un ensemble $ B\in \{A;\mathbb{N}-A\}$ et un ensemble infini $ T\subseteq \mathbb{N}$ tel que pour toute partie finie $ F$ de $ T$ la somme des éléments de $ F$ est dans $ B$.
meskiangasher Écrivait:
> "Tout corps fini est commutatif."
Pour relancer une vieille polémique, mais qui peut couter cher à un oral d'agreg : un corps est par définition commutatif. La version non-commutative d'un corps est appelée algèbre à division ; c à d un anneau dans lequel tous les éléments différents du neutre de l'addition admettent un inverse pour la multiplication. Une algèbre à division (encore appelée corps gauche) commutative est appelée corps...
Je dis ça car ca fait peu de temps que j'ai appris cette subtilité et effetivement, le théorème de Wedderburn exige des précisions de définitions au risque de démontrer une trivialité "Toute algèbre à division commutative finie est commutative" (:D
Un résultat que je trouve intéressant car asez contre-intuitif : Soit $F$ un fermé de $\R^n,\ F'$ le fermé de $\R^{n+1}$ défini par $F\times \{0\}$. Alors il existe une sous-variété $C^{\infty},\ V$ de $\R^{n+1}$ telle que $F'$ soit l'intersection de $V$ et de l'hyperplan $\R^n \times \{0\}$.
En fait il n'y a rien de magique la dedans, il suffit de montrer que $F$ est exactement le lieu de zéros d'une fonction $C^{\infty},\ f:\R^n \rightarrow \R$, puis de prendre $V$ le graphe de $f$ ie : $\{(x,f(x)) \mid x \in \R^n \}$.
Cela dit on se rend compte que l'intersection de 2 objets extrêment réguliers (variétés $C^\infty$) peut donner un objet arbitrairement irrégulier (un fermé de $\R^{n+1}$). En ce sens je trouve ce résultat contre-intuitif.
t-mouss
Ben non, j’ai toujours appris qu’un corps n’est pas nécessairement commutatif, et que par exemple le corps des quaternions est bien un corps, gauche certes, mais un corps quand même.
Ce n’est pas une erreur d’avoir une définition ou l’autre, il faut juste savoir de quoi on parle.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
$$ où $L$ est un fibré en droites de degré impair sur une courbe algébrique projective $C$ de genre $g$, $M(C,L)$ est l'espace de module des fibrés de rang $2$ semi-stable sur $C$ de déterminant $L$ et $\mathscr L$ est un certain fibré en droites sur $M(C,L)$.
Pour moi, ce sera bien sûr l'incroyablement utile formule du crible (ou pour reprendre l'expression anglaise : « principe d'inclusion-exclusion »).
Formule du crible généralisée :
Soit $(M_i)_{i \in [\;\!\![ 1;n ]\;\!\!]}$ une liste de multiensembles,[size=small]\[\bigcup_{i = 1}^{n} M_i \,=\, {\Large \sum_{k = 1}^{n}}\, (-1)^{k+1} \!{\large \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \dots < i_k \leqslant n}} \ \bigcap_{j = 1}^{k} M_{i_j}\][/size]
Et sinon, comme j'ai eu le plaisir de pouvoir étudier la loi de Benford : Théorème : La fréquence* du chiffre $c \in [\;\!\![ 1 \,; 9 ]\;\!\!]$ en tant que premier chiffre significatif dans la suite $(2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est égale à $\log_{10}(1+\frac{1}{c})$.[small]
* Plus rigoureusement : fréquence asymptotique, définie comme limite lorsqu'elle existe de la fréquence parmi les $n$ premiers termes lorsque $n$ tend vers l'infini.[/small]
En fait, on peut méga-généraliser en disant que bon nombre de suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ « qu'on trouve dans la nature » suivent la loi forte de Benford en base $b$ (quelque soit $b>1$), c'est-à-dire que $\big(\{\log_b(u_n)\}\big)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite équidistribuée dans ${[0 \,; 1[}$.
J'apprécie beaucoup pour sa symétrie, sa concision et en fin de compte sa beauté formelle, la propriété suivante :
Pour tous $x, y$ réels $> 0$,
$x^y + y^x > 1$
Et merci à Poirot pour la "latéxisation", d'ailleurs en y regardant de plus près je vais peut-être changer d'avis sur Latex (chez moi j'utilise Mathtype), s'il suffit de mettre quelques $ de plus (comme dans le western spaghetti) pour avoir une belle typographie, alors pourquoi pas.
Une ou deux fois par an j'assiste à un séminaire étudiant en Pologne. Marcin Swieca y a montré que $x^y+y^x>1$ pour $0<x,\,y<1$ ainsi, par concavité de la fonction $\log$
\begin{align*}
(1-x)\log y+x\log 1<\log ((1-x)y+x)&\Rightarrow \frac{y}{x+y-xy}<y^x \\
&\Rightarrow \frac{x}{x+y-xy}<x^y \\
&\Rightarrow 1<\frac{x+y}{x+y-xy}<x^y+y^x.
\end{align*}
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Sylvain rappelait que nous sommes à la veille de l'année Euler (tricentième anniversaire de sa naissance)
il me semble que c'est l'occasion d'exhiber quelques séries numériques simples que le chercheur suisse connaissait et qui peuvent figurer parmi les plus belles formules (telles que Victor-Emmanuel les aiment) mais qui furent proscrites par les successeurs d'Euler (Cauchy et Weierstrass) alors qu'elles étaient parfaitement vraies
1/2= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -........+ (-1)^n +...
1/4 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ..........+ (-1)^(n-1).n +....
0 = 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - ............+ (-1)^n.(2n+1) +.......
il s'agit tout simplement des séries de Riemann alternées d'ordre 0 et - 1 (exposants égaux à 0 puis - 1) concernant les entiers naturels puis les entiers impairs
concernant les entiers premiers il est d'ailleurs possible empiriquement de déterminer la limite de la même série alternée;
elle est (sans doute) irrationnelle et proche de 1,5115589.....
valeur prise par la série alternée de Bertrand 2ln2 - 3ln3 + 4ln4 - 5ln5 +........
puisque le nième nombre premier est équivalent à n.lnn
cordialement
Jean, vous devriez être en plein réveillon, si je ne m'abuse (comme tous les Economistes distingués).
$$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{k=2}^{n}\zeta(k))-n=0}$$.
Sylvain
$$\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^\alpha}=\frac{\pi}{\alpha sin(\frac{\pi}{\alpha}}$$
lorsque $\alpha$ est un réel strictement supérieur à $1$.
<BR>
<BR>Et deux jolis résultats :
<BR>
<BR>En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Et bien si dans un evn, toutes les normes sont équivalentes, alors on est en dimension finie!
<BR>
<BR>Encore :
<BR>En dimension finie, compact équivaut à fermé borné (dans un evn).
<BR>Et on a le théorème de Riesz : si la boule fermée de centre 1 est compacte, alors l'espace est de dimension finie! et à partir de cela on doit pouvoir montrer, je pense que si tout fermé borné est compact, alors l'espace a une dimension finie!<BR>
Ceci n'a pas de sens caren dimension infinie, le bornage dépend de la norme donc on ne peux parler de parties bornées sans préciser la norme !!
Sinon un résultat que j'aime bien : soit p un nombre premier et E un ensemble infini, alors E peut être muni d'une structure de corps algébriquement clos de caractéristique p.
$$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+o(1)$$ quand $s$ tend vers 1 par valeurs supérieures.
J'essaie de majorer, pour ce faire, $\frac{1}{n^s}-\frac{1}{t^s}$ pour $t\in[n;n+1]$ ; les accroissements finis ne me sont d'aucune utilité si je veux invoquer une convergence normale sur ]1;2] ; en revanche si je dois pouvoir majorer l'intégrale entre $n$ et $n+1$ de cette expression, en utilisant la convexité de l'application qui à $x\geq1$ associe $\frac{1}{x^s}$ si $s>1$. Mais je bloque, même en essayant de montrer une convergence uniforme seulement de la série $\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{t^s})dt$ sur ]1;1,1].
Ou toute autre méthode n'invoquant pas la convergence de séries de fonctions est bienvenue.
Merci!
Je ne pense pas que ce soit une bourde :
On est dans un evn ; on a donc une norme, et si la boule unité est compacte, alors on est en dimension finie et toutes les normes sont équivalentes!
Donc si tout fermé borné est compact pour la norme de départ, alors c'est vrai pour toutes les normes et on est en dimension finie.
Un autre beau théorème : Théorème d'équioscillation de Tchebycheff
Sincèrement,
Galax
<BR>
<BR>Personnellement pour moi les plus beaux résultats sont les résultats abstraits et donc toutes les formules concernant des nombres sont "moches", seule l'intelligence permettant de les démontrer est belle.
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<BR>Un beau résultat abstrait
<BR>
<BR>toute mesure sigma-finie sur B(R) se décompose en trois mesures étrangères deux à deux. Une mesure possédeant une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, une mesure chargeant un nombre dénombrable de points de R (somme de Dirac) et une mesure diffuse chargeant un ensemble non dénombrable (et donc pour lequel le poids d'un point est nul).
<BR>
<BR>Cette troisième mesure je la trouve très belle car elle se cache à notre intuition.<BR>
$$\displaystyle{\int_0^\infty\frac{t^s}{e^t-1}dt = \zeta(s)\Gamma(s)}$$ pour $s>1$.
Et puis, au-delà du lemme de Lebesgue, qui dit que si $f$ est réglée sur $[a;b]$ alors :
$$\int_a^b f(t)sin(nt)dt \longrightarrow 0$$, on a aussi, avec la même $f$ :
$$\int_a^b f(t)SIN(nt)dt \longrightarrow \frac{2}{\pi}\int_a^b f$$
où $SIN$ désigne la valeur absolue de sinus, que je ne sais écrire en LaTeX...
Pour montrer ces deux lemmes, je passe par les fonctions constantes, puis en escalier par linéarité, puis réglées par densité.
Avez-vous une méthode plus directe?
Merci!!!
Sylvain
Et je vois pas beaucoup d'algèbre ni de géométrie dans tout ça... les intégrales, ça fait pousser de $\pi$ et des $e$ comme par magie, mais c'est pas ultime en soi. D'ailleurs, une intégrale, de base, c'est une forme linéaire sur un espace vectoriel particulier, faut voir les choses de façon un peu plus abstraite des fois. C'est pas parce qu'on a inventé ça en cherchant à calculer l'aire sous le graphe d'une fonction qu'il faut se limiter au point de vue "ouais, on va intégrer une fonction sur un segment, youhou".
Dans d'autres domaines, on note ça $\mathbb{E}$, $\langle .,.\rangle$ ou même $Tr$, eh oui.
Allez, sortez vos théorèmes de géom ou d'algèbre commutative !
-- Schnoebelen, Philippe
$$\chi(S)=\chi(M) = V-E+F$$
avec: $S$ surface de Riemann compacte connexe
$M$ division polygonale de $S$
$V$ le nombre de sommets, $E$ le nombre de côtés, et F le nombre de faces de la division plygonale.
$\chi(S)$ est donc la caractéristique d'Euler-Poincaré de $S$ et on a:
$$\chi(S) = 2 - 2g$$
si $S$ est orientable de genre $g$.
Pour ce prix, j'ajoute la formule d'Hurwitz:
Si $S$ est la surface de Riemann d'une équation algébrique irréductible
$$A(z,w)=0$$
de degré $n$ suivant $w$, avec $n_k$ l'indice de ramification au point $a_k$ si c'est un point de ramification pour $S$, le genre de $S$ est donné par:
$$g = 1 - n + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{r} n_k$$
Puisque tu semblles calé sur les surfaces de Riemann, je vais faire remonter mon post "Fonctions multiformes".
Et pour rester dans le sujet: le théorème de Liouville (toute fonction holomorphe sur $\C$ et bornée est constante), qui admet comme corollaire celui de D'Alembert-Gauss.
Sylvain
Prendre un nombre au hasard entre 100 et 999 ; le dédoubler en un nombre à 6 chiffres (ex : 567 devient 567567) ; diviser ce nombre par 7, re-diviser par 11, et encore par 13. Et...? On tombe sur le nombre de départ.
C'est très simple, mais ma soeur a du mal à comprendre... Peut-être que je n'explique pas bien???
Autre théorème "joli": toute question dont au moins l'une des 2 alternatives (oui ou non) est décidable (en ce sens qu'on peut prouver que "vraie" cette aleternative est prouvable) est "de façon effective" équivalente à une question de la forme: {\it l'équation diophantienne E a-t-elle une solution?} où E est une équation diophantienne
Une équation diophantienne est une équation du genre $P(X_1..X_n)=0$, avec $P$ polynome sur les indéterminées $X_1,..X_n$, et on cherche des solutions qui soient des nombres entiers
Etant donnée un ensemble $A\subseteq \N$. Il existe alors un ensemble $B\in \{A;\N -A\}$ et un ensemble infini $T\subseteq \N$ tel que pour toute partie finie $F$ de $T$ la somme des éléments de $F$ est dans $B$.
{\it Etant donné un ensemble $A\subseteq W$. Il existe alors un ensemble $B\in \{A; W-A\}$ et un ensemble infini $T\subseteq \N$ tel pour toute partie infinie $G$ de $T$ est dans $B$.}
(franchement, celui-ci c'est de la balle, lol)
$W$ est l'ensemble des parties infinies de $\N$
* Toute application de $\C$ dans $\C$ dérivable une fois est indéfiniment dérivable
* Ne parlez pas de $\pi$ ça cache la beauté des phénomènes (naturels?): aire du disque=périmètre fois rayon divisé par 2
* Si la mesure de Lebesgues de $A\subseteq \R$ est non nulle alors il existe un ouvert $U$ contenant $0$ tel que tout élément de $ U$ peut s'écrire $x-y$ avec $x$ et $y$ dans $A$
* Et l'époustouflant théorème de Brouwer: si $E\subseteq \R^n$ est compact et convexe alors tout application continue de $E$ dans $E$ admet un point fixe.
Non en fait, c'est juste parce que j'adore le nom de ce théorème
Si A est noetherien,$A[X_1,\cdots,X_n]$ l'est aussi.
Soit $A$ et $B$ deux ensembles de mesure de Lebesgue non nulle alors $A+B$ contient un intervalle.
Ou encore tout groupe d'ordre $p^2$ avec $p$ premier est abélien.
Ca se prouve comment?
> "Tout corps fini est commutatif."
Pour relancer une vieille polémique, mais qui peut couter cher à un oral d'agreg : un corps est par définition commutatif. La version non-commutative d'un corps est appelée algèbre à division ; c à d un anneau dans lequel tous les éléments différents du neutre de l'addition admettent un inverse pour la multiplication. Une algèbre à division (encore appelée corps gauche) commutative est appelée corps...
Je dis ça car ca fait peu de temps que j'ai appris cette subtilité et effetivement, le théorème de Wedderburn exige des précisions de définitions au risque de démontrer une trivialité "Toute algèbre à division commutative finie est commutative" (:D
Un résultat que je trouve intéressant car asez contre-intuitif : Soit $F$ un fermé de $\R^n,\ F'$ le fermé de $\R^{n+1}$ défini par $F\times \{0\}$. Alors il existe une sous-variété $C^{\infty},\ V$ de $\R^{n+1}$ telle que $F'$ soit l'intersection de $V$ et de l'hyperplan $\R^n \times \{0\}$.
En fait il n'y a rien de magique la dedans, il suffit de montrer que $F$ est exactement le lieu de zéros d'une fonction $C^{\infty},\ f:\R^n \rightarrow \R$, puis de prendre $V$ le graphe de $f$ ie : $\{(x,f(x)) \mid x \in \R^n \}$.
Cela dit on se rend compte que l'intersection de 2 objets extrêment réguliers (variétés $C^\infty$) peut donner un objet arbitrairement irrégulier (un fermé de $\R^{n+1}$). En ce sens je trouve ce résultat contre-intuitif.
t-mouss
Ce n’est pas une erreur d’avoir une définition ou l’autre, il faut juste savoir de quoi on parle.
-- Schnoebelen, Philippe
-La formule sur https://agreg.org
$\forall x\in \mathbb{R},\ n! = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(x - k)^n$
Quelle formule juste as-tu trouvée ? Ah pardon. J’oubliais que tu ne trouves que des formules fausses.
Un tas de gens t'ont devancé en découvrant cette formule. (cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1390524,1390528 )
A moins, que lorsque tu dis que tu l'as trouvée tu veux dire que tu l'as lue dans un livre.
.
.
.
https://www.mathcurve.com/surfaces/klein/klein.shtml
.
.
\dim H^0(M(C,L), \mathscr L^{\otimes k}) = (k+1)^{g-1}\sum_{j=1}^{2k+1} \frac{(-1)^{j-1}}{(\sin (\frac{j \pi}{2k+2}))^{2g-2}},
$$ où $L$ est un fibré en droites de degré impair sur une courbe algébrique projective $C$ de genre $g$, $M(C,L)$ est l'espace de module des fibrés de rang $2$ semi-stable sur $C$ de déterminant $L$ et $\mathscr L$ est un certain fibré en droites sur $M(C,L)$.
Formule du crible généralisée :
Soit $(M_i)_{i \in [\;\!\![ 1;n ]\;\!\!]}$ une liste de multiensembles,[size=small]\[\bigcup_{i = 1}^{n} M_i \,=\, {\Large \sum_{k = 1}^{n}}\, (-1)^{k+1} \!{\large \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \dots < i_k \leqslant n}} \ \bigcap_{j = 1}^{k} M_{i_j}\][/size]
Et sinon, comme j'ai eu le plaisir de pouvoir étudier la loi de Benford :
Théorème : La fréquence* du chiffre $c \in [\;\!\![ 1 \,; 9 ]\;\!\!]$ en tant que premier chiffre significatif dans la suite $(2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est égale à $\log_{10}(1+\frac{1}{c})$.[small]
* Plus rigoureusement : fréquence asymptotique, définie comme limite lorsqu'elle existe de la fréquence parmi les $n$ premiers termes lorsque $n$ tend vers l'infini.[/small]
En fait, on peut méga-généraliser en disant que bon nombre de suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ « qu'on trouve dans la nature » suivent la loi forte de Benford en base $b$ (quelque soit $b>1$), c'est-à-dire que $\big(\{\log_b(u_n)\}\big)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite équidistribuée dans ${[0 \,; 1[}$.
J'apprécie beaucoup pour sa symétrie, sa concision et en fin de compte sa beauté formelle, la propriété suivante :
Pour tous $x, y$ réels $> 0$,
$x^y + y^x > 1$
Et merci à Poirot pour la "latéxisation", d'ailleurs en y regardant de plus près je vais peut-être changer d'avis sur Latex (chez moi j'utilise Mathtype), s'il suffit de mettre quelques $ de plus (comme dans le western spaghetti) pour avoir une belle typographie, alors pourquoi pas.
\begin{align*}
(1-x)\log y+x\log 1<\log ((1-x)y+x)&\Rightarrow \frac{y}{x+y-xy}<y^x \\
&\Rightarrow \frac{x}{x+y-xy}<x^y \\
&\Rightarrow 1<\frac{x+y}{x+y-xy}<x^y+y^x.
\end{align*}