Moi non plus je n’ai pas trop d’idée pour l’instant, sauf une mais j’ai peur qu’elle ne colle pas avec ton programme, connais tu les matrices, sais-tu les diagonaliser?
Pour être explicite, la méthode a laquelle je pense consiste à remarquer que la relation entre les vecteurs $V_n$ et $V_{n+1}$, où j’ai posé $V_n = (a_n,b_n,c_n)$, est une multiplication par une matrice, qui se trouve être diagonalisable. Il est alors plus ou moins rapide de la diagonaliser et de calculer ses puissances, et on tombe sur les formules pour $a,b,c$. Cependant, je cherche aussi une autre méthode mais... je n’y arrive pas pour l’instant. Je te tiens au courant si j’ai du nouveau!
Flora, ev t'a donné la piste en te donnant la relation à réinvestir : $a_n = ... c_{n+1} - ... c_n$ que tu réinsères dans ta relation $c_{n+2}=...$
C'est en effet tout bête, encore faut-il l'avoir vu une fois pour bien retenir l'astuce.
Je ne connaissais pas. Tu connais surement le raisonnement par récurrence, tu ne connais peut être pas la récurrence forte. Elle consiste en la même chose sauf que tu supposes que ta propriété est vraie jusqu’au rang $n$ au lieu d’être vraie au rang $n$. J’ai fait le calcul, le résultat tombe plutôt vite :-) Si tu veux plus de détails ou d’explication, je suis là! Et je n’ai pas vraiment analysé ce que tu as fait dans les détrails (faute de connaître cette technique) maius as-tu fait attention que la suite commence au rang $1$ et non au rang $0$?
Et puis au moins pour la culture je te présente la récurrence forte, avec une définition théorique et un exemple pratique.
Théorème : Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété qui dépend de l’entier $n\in \mathbf{N}$. On suppose qu’il existe $n_0 \in \mathbf{N}$ tel que $\mathcal{P}(n_0)$ soit vraie, et que pour tout $n\geq n_0$, \[ (\forall k \in \{n_0 ,...,n\}, \mathcal{P}(k) ) \Longrightarrow \mathcal{P}(n+1) \], alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.
Exemple (classique): Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est produit de nombres premiers. Preuve : par récurrence forte. L’entier $2$ est premier, il est donc produit de nombre premier. Soit $n\geq 2$ tel que tout nombre compris entre $2$ et $n$ inclus soit produit de nombre premier. Si $n+1$ est premier, c’est gagné, sinon, il s’écrit $n+1=pq$, avec $p,q$ compris entre $2$ et $n$. Par hypothèse de récurrence, $p$ et $q$ sont produits de nombres premiers, il en va de même de $n+1$. On a montré la proposition.
Mais autant ma méthode avec les matrices était plus longue que la tienne, autant la récurrence forte me parait plus inquée ici. Enfin, plusieurs chemins mènent à Rome ;-)
Bonjour
Je n'ai pas tout lu, peut être que ça va faire doublon mais sinon.
Moralement dans ce genre d'exercice on a une relation géométrique de la forme $u_{n+1}=A u_n$
avec $u_{0}=(1/3,1/3,1/3)$ , $u_n=(a_n,b_n,c_n)^t.$
Donc $u_n=A^n u_0$ et il suffit de calculer la matrice $A^n$ en fonction de n.
Maintenant vu la façon dont est posé l'énoncé, surement que le calcul matriciel n'est pas envisagé.
Alors on peut faire comme cela. Ne pas oublier que pour tout n on a a_n+b_n+c_n=1.
L'idée est de conjecturer l'expression de a_n (et donc de b_n).
On a $c_{n+1}= 1/3 a_n +1/3 c_n$
On a donc $a_n$ en fonction de $c_{n+1}$ et $c_n$. Avec l'expression de $c_n$ à démontrer,
donc l'expression de $a_n$ et donc de $b_n$ en fonction de n. ( à exprimer)
Il reste à faire la récurrence (facile maintenant) qui consiste à prouver simultanément que les 3 expressions de $a_n,b_n$ et $c_n$ sont bien vraies pour tout n.
Non ça c’est bon, c’est juste après, pour obtenir ton sytème, tu écris « donc pour $n=1$ et $n=2$ « et quand tu remplaces par rapport à l’équation $c_n = \lambda (1/6)^n + \mu (1/2)^n$ tu le fais en prenant 0 et 1, initialement c’est pour ça que je t’ai demandé de donner les puissances
Tout ça pour dire que le bon système à résoudre est :
$
\left \{
\begin{aligned}
(1/6)\lambda+(1/2)\mu && = && 1/3 \\
(1/36)\lambda + (1/4)\mu && = && 2/9
\end{aligned}
\right.
$
Il t'a dit ça car il voulait que tu te défies, t'aurais eu 18 au lieu de 14 la dernière fois. T'as les capacités. Et au fond tu sais très bien qu'il t'adore sinon il ne t'aurait pas fait promettre de revenir les voir l'année prochaine.
Bonsoir Flora, pour moi ça a l’air bon! Je vais vérifier le calcul matriciel à la fin pour te confirmer ça. Pour la suite, tu as raison de choisir cette valeur pour $X_0$, mais attention, on ne te demande pas $X_1$ mais $X_n$. Normalement, gràce à la relation de récurrence et à la valeur de $X_0$, tu es en mesure de calculer $X_n$.
Bonjour
J'ai regardé le résultat et c'est bon. Concernant la rédaction, tout est histoire de bon sens.
D'abord je ne sais pas ce qu'est ECE donc à quel niveau on se situe.
Comme, par exemple, pour la question 3, dire
" La relation $X_{n+1} = M X_n$ implique $X_n=M ^n X_0$ " est suffisante (pour moi)
Mais on peut être plus explicite, en justifiant par une petite démonstration par récurrence qui est élémentaire. En effet est complètement analogue à celle qui correspond aux suites géométriques qu'on voit en terminale.
Mais pour moi c'est pas forcément utile si on est à Bac +1 (ou plus).
Concernant la phrase "sous réserve de convergence". J'éviterai de la mettre, car on est sûr a priori que la suite $X_n$ va converger.
En effet, une fois qu'on a calculé D, on calcule facilement la matrice $D^n$ et on voit facilement quelle converge
vers la matrice
$D_{\infty}= \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) $
Donc la matrice $M^n=P D^n P^{-1}$ converge vers $M_{\infty}=P D_{\infty} P{-1}$
alors $X_n$ converge vers $X_{\infty}=M_{\infty}(1,0,0)^t$
Je peux me tromper, mais pour déterminer la limite d'une suite de matrices, il faut un espace, une topologie, et une norme, avant de pouvoir calculer une limite, non ? Où est tout ça ?
D'accord, tu identifies $ \mathcal{M}_{3 \times 3} ( \mathbb{R} ) $ à $ \mathbb{R}^9 $, et tu calcules la limite comme d'habitude, non ? Mouais ... :)o
Bonjour
Pablo_de_retour
Il n'y pas de pb avec ce que je dis.
En effet quand on travaille en dimension finie, on sait que toutes les normes sont équivalentes. Donc
la notion de limite de dépend pas de la norme choisie.
Tu as raison de te poser la question et c'est important de comprendre que c'est quelque chose d'hyper important et très utile.
A contrario dans un ev de dimension infinie dire que u_n tend u n'a pas de sens si on ne précise pas la norme
(ou plus généralement la topologie)
Quelle différence y a-t-il entre ces deux approches distinctes de calcul de limites dans mes deux postes précédents ? Quant utilise-t-on l'un des deux ? Parce que, ce n'est pas la meme limite. Une se calcule à l'aide d'une norme, et l'autre composante par composante. C'est différent, non ? et pourquoi dans l'exercice de Flora, vous favorisez celle qui se calcule composante par composante ?
> « La relation $X_{n+1}=MX_n$ implique
> $X_n=M^nX_0$ » est suffisante (pour moi)
>
> Pour ma part, je préférerais infiniment lire :
> « La relation $X_{n+1}=MX_n$, vraie pour tout
> $n$, implique que pour tout $n$, on a
> $X_n=M^nX_0$. »
Evidemment ça va de soi! Mais je pense qu'elle l'avait dit.
Réponses
Sauf erreur de coin de table de ma part, tu as \( c_{n+1} = \dfrac13 c_n + \dfrac13 a_n \).
amicalement,
e.v.
Moi non plus je n’ai pas trop d’idée pour l’instant, sauf une mais j’ai peur qu’elle ne colle pas avec ton programme, connais tu les matrices, sais-tu les diagonaliser?
( Édit)
Pour être explicite, la méthode a laquelle je pense consiste à remarquer que la relation entre les vecteurs $V_n$ et $V_{n+1}$, où j’ai posé $V_n = (a_n,b_n,c_n)$, est une multiplication par une matrice, qui se trouve être diagonalisable. Il est alors plus ou moins rapide de la diagonaliser et de calculer ses puissances, et on tombe sur les formules pour $a,b,c$. Cependant, je cherche aussi une autre méthode mais... je n’y arrive pas pour l’instant. Je te tiens au courant si j’ai du nouveau!
C'est en effet tout bête, encore faut-il l'avoir vu une fois pour bien retenir l'astuce.
oh mais ouuuuiii !
( Édit)
( Édit)
Pourquoi ne fais-tu pas une récurrence? Je ne comprends pas trop ton histoire de discriminant.
( Édit)
(Édit)
Théorème : Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété qui dépend de l’entier $n\in \mathbf{N}$. On suppose qu’il existe $n_0 \in \mathbf{N}$ tel que $\mathcal{P}(n_0)$ soit vraie, et que pour tout $n\geq n_0$, \[ (\forall k \in \{n_0 ,...,n\}, \mathcal{P}(k) ) \Longrightarrow \mathcal{P}(n+1) \], alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.
Exemple (classique): Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est produit de nombres premiers. Preuve : par récurrence forte. L’entier $2$ est premier, il est donc produit de nombre premier. Soit $n\geq 2$ tel que tout nombre compris entre $2$ et $n$ inclus soit produit de nombre premier. Si $n+1$ est premier, c’est gagné, sinon, il s’écrit $n+1=pq$, avec $p,q$ compris entre $2$ et $n$. Par hypothèse de récurrence, $p$ et $q$ sont produits de nombres premiers, il en va de même de $n+1$. On a montré la proposition.
Je n'ai pas tout lu, peut être que ça va faire doublon mais sinon.
Moralement dans ce genre d'exercice on a une relation géométrique de la forme $u_{n+1}=A u_n$
avec $u_{0}=(1/3,1/3,1/3)$ , $u_n=(a_n,b_n,c_n)^t.$
Donc $u_n=A^n u_0$ et il suffit de calculer la matrice $A^n$ en fonction de n.
Maintenant vu la façon dont est posé l'énoncé, surement que le calcul matriciel n'est pas envisagé.
Alors on peut faire comme cela. Ne pas oublier que pour tout n on a a_n+b_n+c_n=1.
L'idée est de conjecturer l'expression de a_n (et donc de b_n).
On a $c_{n+1}= 1/3 a_n +1/3 c_n$
On a donc $a_n$ en fonction de $c_{n+1}$ et $c_n$. Avec l'expression de $c_n$ à démontrer,
donc l'expression de $a_n$ et donc de $b_n$ en fonction de n. ( à exprimer)
Il reste à faire la récurrence (facile maintenant) qui consiste à prouver simultanément que les 3 expressions de $a_n,b_n$ et $c_n$ sont bien vraies pour tout n.
( Édit)
Edit
$
\left \{
\begin{aligned}
(1/6)\lambda+(1/2)\mu && = && 1/3 \\
(1/36)\lambda + (1/4)\mu && = && 2/9
\end{aligned}
\right.
$
( Édit)
Edit
( Édit)
X_0= \begin{pmatrix} P(A_0) \\ P(B_0) \\ P(C_0)\\\end{pmatrix}\[ X_0= \begin{pmatrix} P(A_0) \\ P(B_0) \\ P(C_0)\\\end{pmatrix}\] ou \[
X_0= \;^t\!\begin{pmatrix} P(A_0) & P(B_0) & P(C_0)\\\end{pmatrix}
\] (solution de cossard).
e.v.
( Édit)
( Édit)
( Édit)
( Édit)
J'ai regardé le résultat et c'est bon. Concernant la rédaction, tout est histoire de bon sens.
D'abord je ne sais pas ce qu'est ECE donc à quel niveau on se situe.
Comme, par exemple, pour la question 3, dire
" La relation $X_{n+1} = M X_n$ implique $X_n=M ^n X_0$ " est suffisante (pour moi)
Mais on peut être plus explicite, en justifiant par une petite démonstration par récurrence qui est élémentaire. En effet est complètement analogue à celle qui correspond aux suites géométriques qu'on voit en terminale.
Mais pour moi c'est pas forcément utile si on est à Bac +1 (ou plus).
Concernant la phrase "sous réserve de convergence". J'éviterai de la mettre, car on est sûr a priori que la suite $X_n$ va converger.
En effet, une fois qu'on a calculé D, on calcule facilement la matrice $D^n$ et on voit facilement quelle converge
vers la matrice
$D_{\infty}= \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) $
Donc la matrice $M^n=P D^n P^{-1}$ converge vers $M_{\infty}=P D_{\infty} P{-1}$
alors $X_n$ converge vers $X_{\infty}=M_{\infty}(1,0,0)^t$
merci pour cette réponse aussi détaillée, c'est très gentil de votre part :-) !
Passez une bonne journée !
Bonjour bd2017,
Je peux me tromper, mais pour déterminer la limite d'une suite de matrices, il faut un espace, une topologie, et une norme, avant de pouvoir calculer une limite, non ? Où est tout ça ?
Pablo_de_retour
Il n'y pas de pb avec ce que je dis.
En effet quand on travaille en dimension finie, on sait que toutes les normes sont équivalentes. Donc
la notion de limite de dépend pas de la norme choisie.
Tu as raison de te poser la question et c'est important de comprendre que c'est quelque chose d'hyper important et très utile.
A contrario dans un ev de dimension infinie dire que u_n tend u n'a pas de sens si on ne précise pas la norme
(ou plus généralement la topologie)
e.v.
Et bien si tu prends $||M||=max_{i,j} |m_ij|$ et bien M tend vers 0 ssi chaque $m_{ij}$ tend vers 0
Merci pour l'éclairage @bd2017. :-)
> > Pour ma part, je préférerais infiniment lire :
> « La relation $X_{n+1}=MX_n$, vraie pour tout
> $n$, implique que pour tout $n$, on a
> $X_n=M^nX_0$. »
Evidemment ça va de soi! Mais je pense qu'elle l'avait dit.