Livres d'arithmétique

Si par arithmétique tu entends théorie des nombres, il y a pas mal de domaines différents. Pour une introduction de différentes saveurs (mais surtout algébriques), tu peux regarder du côté du Arithmétique de Marc Hindry. Il y a aussi le très varié Introduction à la théorie des nombres de Hardy et Wright, un peu vieillot.

Pour bien commencer la théorie algébrique des nombres je te recommande Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel, et pour la théorie analytique Un cours de théorie analytique des nombres d'Emmanuel Kowalski, ou pour aller plus loin Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum. Pour les aspects irrationnalité/transcendance, il y a le Théorie des nombres de Daniel Duverney (et même si tu ne veux pas d'ouvrage en anglais, je ne peux pas ne pas recommander l'excellent Making transcendance transparent de Burger et Tubbs).

@ Al-Kashi : La traduction française de An Introduction to the theory of numbers de Hardy et Wright devrait te convenir. Ce n'est pas un vieux livre, c'est un ouvrage classique qui a été ré-édité maintes fois au cours des 70 dernières années. La dernière édition de 2008 est ultra moderne.


@BYass : Un ouvrage d'introduction a la theorie analytique des nombres est le Introduction to analytic number theory de Apostol chez Springer. Le niveau est L3-M1 et c'est bien plus compréhensible que l'ouvrage de Serre.

Je confirme qu'il est difficile de débuter en théorie analytique des nombres avec le Tenenbaum, mais ça reste une bonne lecture pour voir l'étendue des choses que l'on peut traiter dans ce domaine. J'ai une préférence pour le Kowalski que j'ai cité plus haut (pas le Iwaniec-Kowalski qui est d'un niveau très très élevé). Le bouquin d'exercices de Murty suggéré par noix de totos est également très bien pour mettre les pieds dans le plat !

@SERGE_S : j'ai déjà suggéré le Hardy et Wright dans mon premier message.

Bonsoir.

J'ai entendu du bien du livre de Pierre Colmez intitulé "éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)".
Est-ce qu'il traite de la théorie analytique des nombres ?

J'ai eu la chance de travailler sur le livre de Marc Hindry, en particulier sur son chapitre de théorie analytique des nombres.

Il est vrai qu'il y a ce chapitre, mais Marc H est surtout spécialisé en théorie algébrique des nombres, et c'est assurément le thème principal de son ouvrage. Toutefois, il utilise de manière importante les sommes de Gauss (et sommes reliées à elles), qui sont un outil à la fois algébrique et analytique en arithmétique.

Il me paraît donc essentiel que tu cibles exactement ce que tu cherches et le niveau que tu veux atteindre :

ou bien tu veux un ouvrage à "spectre large" de niveau disons M1, alors : Le Hardy & Wright, le livre de H. E. Rose "A course in Number Theory" (Oxford), sont des exemples que tu peux consulter ;

ou bien tu veux un domaine bien particulier : dans ce cas-là, il faut bien délimiter ce domaine (même un champs comme "théorie analytique des nombres" est trop vaste par certains aspects), puis se donner un niveau souhaité.

Il y a aussi les deux excellents pavés "Number Theory" chez Springer du maître Henri Cohen :

Volume I : "Tools and Diophantine Equations" plus axé sur la théorie algébrique des nombres.
Volume II : "Analytic and Modern Tools" qui, comme son nom l'indique, s'intéresse à la théorie analytique des nombres.

@Poirot : Tu habites dans une bibliothèque ? ;-)

@gai requin : parfois j'aimerais :-D

@soleil_vert : il ne s'agit pas du tout du même bouquin. Le Kowalski est un cours de niveau M1-M2. Le Iwaniec-Kowalski est un livre de référence pour chercheurs en théorie analytique des nombres.

Le H&W est un livre de cours.
Le J-M de Koninck & A.Mercier, 1001 problèmes en théorie classique des nombres est un livre d'exercices.

Un bouquin que je trouve très chouette, il couvre des parties peu connues de la théorie des nombres et il a une couverture assez large (mais pas orienté théorie analytique, même s'il y a un chapitre sur les fonctions arithmétiques mais plutôt orienté: irrationalité/transcendance de nombres), théorie des nombres de Daniel Duverney.
Il y a des résultats d'irrationalité (livre déjà cité par Poirot)


On y trouve (démontrée), par exemple, cette égalité:

\begin{align}\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+...}}}==\frac{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!(k+1)!}}{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k!)^2}}\end{align}


Il y a des exercices à la fin de chaque chapitre. Parmi les exercices il y a aussi des résultats intéressants.
(et il y a des corrections d'exercices)


Il y a le très compact, grand classique, théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel.

On trouve des livres anciens réédités chez Dover (en Anglais) qui traitent de théorie des nombres.
La présentation est souvent datée mais ces livres sont peu chers.

Il y a aussi le Ireland-Rosen (en Anglais):

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-2103-4

Pour des références de livres (mais aussi notes de cours en ligne) consulter:
http://www.numbertheory.org/ntw/number_theory.html

(c'est un site orienté fortement monde anglo-saxon)

Je n'en ai pas l'impression.

Les fins de chapitres dans la cinquième édition (en Anglais) sont consacrées à des références pas à des exercices si je lis bien. Mais je n'ai pas vérifié pour tous les chapitres. (dans mon souvenir il n'y en a pas mais je peux me tromper)