$\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est irrationnel
dans Arithmétique
Bonjour, je dois montrer que pour tout $m\ge1$, $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est irrationnel. Quelqu'un aurait une idée ?
J'ai essayé d'appliquer la même méthode que pour prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel (par l'absurde, écrire que $m\ge1$, $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ des entiers relatifs et trouver des diviseurs de $p$ et de $q$) mais ça ne marche pas.
Je précise que c'est une question faisant partie du problème suivant.
Pour $a,b$ des entiers naturels, prouver que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est racine du polynôme $X^4-2(a+b)X^2+(a-b)^2$, question qui est facile et que j'ai réussie.
J'ai essayé d'appliquer la même méthode que pour prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel (par l'absurde, écrire que $m\ge1$, $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ des entiers relatifs et trouver des diviseurs de $p$ et de $q$) mais ça ne marche pas.
Je précise que c'est une question faisant partie du problème suivant.
Pour $a,b$ des entiers naturels, prouver que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est racine du polynôme $X^4-2(a+b)X^2+(a-b)^2$, question qui est facile et que j'ai réussie.
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Réponses
Élève au carré. Puis applique la méthode pour $\sqrt{2}$...
Pour suivre l’énoncé tu peux écrire le polynôme selon $m$. Si ce polynôme admet une racine rationnelle $p/q$, alors $p$ divise $...$ et $q$ divise $...$ et donc $...$ est solution : donc $m=0$.
Sans utiliser l'énoncé, si $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est rationnel, alors son inverse $\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$ aussi, et du coup $\sqrt{m}$ et $\sqrt{m+1}$ le sont également.
on écrit donc :
\begin{align*}
\sqrt{m}+\sqrt{m+1}=p/q
&\iff (\sqrt{m}+\sqrt{m+1})^2=p^2/q^2 \\
&\iff 2m+1+2\sqrt{m}\sqrt{m+1}=p^2/q^2 \\
&\iff p^2=2(m+1/2+\sqrt{m}\sqrt{m+1}) \\
\end{align*}
Sauf qu'après je suis bloqué, le but étant de montrer que $p^2$ s'écrit comme 2 fois un entier relatif, or $m+1/2+\sqrt{m}\sqrt{m+1}$ n'en ait pas un.
\begin{align*}
& \sqrt{m(m+1)}=p/q
& \iff m(m+1)=p^2/q^2
& \iff p^2=q^2m(m+1)
\end{align*}
Donc comme $m(m+1)$ est entier, on en déduit que $p^2=q^2k$ avec k un entier relatif
Et ensuite que faire ?
$m(m+1)=p^2 \iff m=p \text{ OU } m+1=p$ ce qui est absurde.
(b, c)2 = b), l'idée de Philippe Malot est meilleure parce que plus simple puisque l'on a directement que m et m+1 seraient des carrés !
$m(m+1)=p^2 \iff m(m+1)=p*p$ par identification $m=p$ ou $m+1=p$ ce qui est absurde.
[Petite révision pour éviter des erreurs systématiques. ;-) AD]
https://www.francaisfacile.com/exercices/exercice-francais-2/exercice-francais-40256.php
-- Schnoebelen, Philippe
Tu peux remarquer que $3 \times 4 = 2 \times 6$ donc "par identification" $3=2$ ou $3=6$ ?
Bon, une fois que tu es arrivé à $p^2 = m(m+1)$, il reste encore à remarquer que $m$ et $m+1$ sont premiers entre eux, donc si $d$ est un diviseur premier de $p$, on a d'après le théorème de Gauss que $d^2$ divise $m$ ou $d^2$ divise $m+1$ mais pas les deux. Réciproquement si $d$ divise $m$ alors $d$ divise $p^2$ et comme $m$ et $m+1$ sont premiers entre eux, $d^2$ divise $m$, et un raisonnement similaire pour $m+1$.
La conclusion est que $m$ et $m+1$ sont simultanément des carrés, ce qui devrait te faire bondir.
Pour revenir au problème on a $m(m+1)=p*p$, si on choisit un exemple on aurait $6(6+1)=5*5$ se qui est absurde car un nombre au carré ne peux pas s'écrire comme le produit de deux nombres consécutifs, cette explication est largement suffisante.
> un nombre au carré ne peux pas s'écrire comme le produit de deux nombres consécutifs
Ceci est une affirmation qui doit être démontrée.
Cordialement,
Rescassol
Par contre, je l'invite à distinguer "sa" et "ça " avec, pourquoi pas, un exemple :
Sa Rolex brille de mille feux. Elle est magnifique !
La Rolex et le costard Armani, ça en jette un max !
ou bien il sait que m²+m n'est pas un carré car le carré suivant m² est 2m+1 après m².
Bon, arrêtons de nous moquer de Deadbefore, qui se contente d'affirmations à la place de preuves.
Cordialement.
$\sqrt{n}+\sqrt{m}$ est rationel si et seulement si $n$ et $m$ sont des carrés d'autres nombres naturels?