Représentation irréductible

Dd Kg · February 2019

Bonjour
Pourriez-vous m'apporter de l'aide sur l'exercice suivant ?

Soit $(\rho, V)$ une représentation irréductible d'un groupe fini $G$ sur un corps algébriquement clos $k$.
Montrer que si $V$ est de dimension $1$ sur $k$, alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=\mathrm{Id}_V
$$ et si $\dim V>1$ alors $$
\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)=0.

$$ J'observe par exemple que, pour $v\in V,\ v\neq0$, alors,
si jamais le vecteur $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v$ est non nul, la droite $\text{Vect}(v)$ est stable sous l'action de $G$ donc $\text{Vect}(v)=V$ et $V$ est de dimension $1$.

Nonoche · February 2019

vous y êtes presque : la droite portée par $\sum \rho(g)v$ est stable, donc c'est $V$ ou $0$ par irréductibilité.

Dd Kg · February 2019

Mais est-ce toujours d'une droite, justement ?
Je veux dire, le vecteur $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v$ pourrait très bien être nul...

Mais bon, je pense qu'il est pas difficile de trouver un $v$ (non nul !) tel que $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho(g)\cdot v\neq 0$

Dd Kg · February 2019

En fait, il suffit de dire :

Soit $v\neq 0$. Posons $w=\frac{1}{|G|}\sum \rho(g)v$ alors $\text{Vect}(w)$ est $G$-stable donc c'est 0 ou $V$.
Si c'est $V$ alors $V$ est une droite et comme $\rho(g)w=w$ pour tout $g\in G$, alors on a bien l'égalité voulue (par linéarité)

Si c'est 0, alors $w=0$

Maxtimax · February 2019

Nonoche a appelé ça droite mais prenait en compte le cas $=0$

(attention, c'est pas difficile sauf si $\mathrm{dim}V>1$, auquel cas c'est impossible :-D )

Math Coss · February 2019

Cette propriété me semble bien suspecte. En effet, Prenons par exemple $G=\{-1,1\}$ dans $\C^*=\mathrm{GL}_1(\C)$ et $\rho$ la représentation identité ($V=\C$ et $\rho(g)=g$ pour $g\in G$). On a quand même bien l'impression que $\frac12(1-1)=0$ et pas $1$.

Cela vaut pour n'importe quelle représentation irréductible non triviale [de dimension $1$] de n'importe quel groupe : si on suppose que $G$ est simple [non abélien], il n'en existe pas ; sinon, il peut en exister.

Edits : [précisions].

Dd Kg · February 2019

Math Coss, il y avait une hypothèse supplémentaire en fait dans l'exercice, dont je n'ai pas volontairement pas parlé (pensant qu'elle serait utile seulement plus tard dans mon exo), à savoir : la caractéristique de $k$ ne divise pas l'ordre de $G$.

Cela permet-il de rétablir la "justesse" de l'exercice ?

Poirot · February 2019

Bah tu vois bien que le contre-exemple de Math Coss se passe dans $\mathbb C$ qui est de caractéristique zéro, donc ce n'est pas là que ça cloche ! L'hypothèse est là pour que le scalaire $\frac{1}{|G|}$ ait bien un sens.

Dd Kg · February 2019

bah, si on veut chipoter : 0 divise tout entier, donc en particulier l'entier $|G|$... non ??

Oui, en effet, merci beaucoup : $|G| \neq 0$ dans $k$ (mais pas dans $\mathbb{N}$ !)

Maxtimax · February 2019

Math Coss : pourquoi si $G$ est simple il n'en existe pas ? Un groupe simple a beaucoup de représentations irréductibles (à commencer par $\Z/2\Z$ et celle que tu as donnée en exemple) donc je ne comprends pas ce que tu as voulu dire dans ton dernier paragraphe.

Pour la justesse de l'exercice, Math Coss a raison il faut remplacer la disonction selon que $\mathrm{dim}V =1$ par une disjonction selon que $V$ est triviale ou non. Indication : qui est l'image de notre gentil opérateur ?

Dd Kg : $0$ divise tout ? :-S Il faut peut-être revoir la définition de diviser

Poirot · February 2019

Depuis quand $0$ divise tout entier ? Peux-tu rappeler la définition de la divisibilité dans les entiers ?

Dd Kg · February 2019

ouiiiii pardon hahaha je suis fou !

merci pour vos réponses.

Math Coss · February 2019

Précision : « il n'en existe pas »... de représentation de dimension $1$ non triviale.

Maxtimax · February 2019

Ah, merci pour la précision; je me disais bien qu'il y avait quelque chose que j'avais manqué

Dd Kg · February 2019

Du coup, si $V$ est triviale, c'est ok.

Sinon, il existe $g_0\in G$ tel que $\rho(g_0)\neq Id_V$, puis il existe $v$ tel que $\rho(g_0) v \neq v$
je pose alors $w=\sum\rho(g) v$
l'espace vectoriel engendré par $w$ est $G$-stable donc c'est $0$ ou $V$.

Suis-je sur la bonne voie ?

Math Coss · February 2019

Il y a mieux : $w$ est fixé par tous les éléments de $G$, c'est plus fort que dire que la droite qu'il engendre est stable.

Dd Kg · February 2019

Oui, et du coup si $V =\text{Vect}(w)$ :
$$\frac{1}{|G|}\sum \rho(g) w = w$$
donc $\frac{1}{|G|}\sum \rho(g)=Id_V$

on retourne dans le premier cas!
reste donc a traiter $\text{Vect}(w)=0$

Dd Kg · February 2019

J'ai abouti, je propose une rédaction :

$\bullet$ Si $V$ est triviale, c'est ok.

$\bullet$ Sinon, pour tout $v\in V$ l'espace vectoriel ($G$-stable) engendré par $\sum gv$ est nécessairement 0 (car si par malheur, c'était $V$, on vérifie facilement $V$ serait triviale). donc $\sum g =0$ donc $\frac{1}{|G|}\sum g=0$

Dd Kg · February 2019

La 2ème question est formulée ainsi.

Soit $V$ une représentation irréductible de $G$ sur $k$ (les mêmes qu'auparavant), et $a$ un endomorphisme de $V$. Montrer que $$
\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(ga)
$$ vaut $a$ si $V$ est triviale et vaut $0$ sinon.

Bon bien sûr, il y a un problème dans la question.
Pouvez-vous m'aider à rétablir l'énoncé correct ?
Dans la somme, est-ce $Tr(g)a$ ou bien le "membre de droite" est-il égal à $Tr(a)$ plutôt que $a$ ?
Enfin, pourquoi cet indice $V$ pour la trace ?

Par ailleurs, je veux bien une indication pour la question.
Merci.

Poirot · February 2019

C'est vraisemblablement $Tr(g)a$ dans la somme, $Tr(ga)$ n'ayant pas de sens ($Tr(\rho(g)a)$ en a un à la limite). Le $V$ est là pour rappeler que l'on prend la trace d'endomorphisme de $V$ ?

Tu peux utiliser la question précédente, et le fait que $$\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(g)a = \left(\frac{1}{|G|}\sum_g Tr_V(g)\right)a.$$

Représentation irréductible

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