Nombre de triangles

Prenons les n points extérieurs, et 1 seul point intérieur. On a en général une solution triviale : relier le point central aux n sommets extérieurs. Et donc n triangles.
Pour chaque autre point intérieur, ce point est dans un triangle. on divise donc le triangle en question en 3 sous-triangles.
On a donc via cette méthode $n + 2(i-1)$ triangles.

Chaque quadrilatère constitué de 2 triangles peut être découpé d'une autre façon, en remplaçant la diagonale actuelle par l'autre diagonale. Mais ça ne change pas le nombre de triangles.
Je n'ai pas la démonstration, mais j'ai la conviction que le nombre de triangles est fixe, et vaut $n+2(i-1)$

Soit $T$ le nopmbre de triangles. Monsieur Euler nous dit que
$$S-A+F=2\;,$$
où
$$\begin{aligned}
S&=n+i\\
A&=n+\frac12(3T-n)\\
F&=T+1
\end{aligned}$$

Chaque triangle a trois côtés ;-). Par ailleurs il y a les côtés du polygone convexe, et les arêtes intérieures partagées par deux triangles.

Salut.

A noter peut-être que $T$ est le nombre de triangles $-1$.

Mes excuses !T'as raison, j'avais fait un calcul mental.

Bonjour Soland,

Tu devrais éditer ton message une fois de plus pour corriger ta solution.

Soland a écrit:

On trouve $T=2i+n$ .

(Vérification : $n=3$, $i=0$)

Tu as raison; étourderie.
On peut le prouver par récurrence :
On part avec un triangle sans point intérieur.
En rajoutant un point sur le bord que l'on relie au sommet du triangle idoine
on détruit un triangle et on en ajoute deux.
En rajoutant un point intérieur que l'on relie aux sommets du triangle qui le contient
on détruit un triangle et on en ajoute trois.