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Carrés de Franklin

Bonjour,
quel est le nombre de carrés magiques de Franklin de type 1 , d'ordre 8 , compacts et isotropes ?

Bien cordialement.
kolotoko

Réponses

  • Bonjour,
    à ma connaissance, le premier carré magique de Franklin de type 1 d'ordre 8, compact et isotrope, serait dû à Y. Tanaka et daterait de 1683, avant même la naissance de B. Franklin (1706 - 1790) .

    Carré de Tanaka : $$ \begin{array}{cccccccc}
    33& 24& 47& 26& 35& 22& 45& 28 \\
    16&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    18&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    63&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    34&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    15&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    17&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\
    64&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
    \end{array}
    $$ Bien cordialement.
    kolotoko
  • Tant que tu ne diras pas ce qu'est un carré de Franklin, ce que ça veut dire de type 1, ce que veut dire compact, et ce que veut dire isotrope, tu risques fort de parler tout seul....tu réfléchis peut-être à cette question depuis un moment et tu connais certainement les définitions, mais pas le reste des intervenants.

    M'enfin, moi, ce que j'en dis, hein....

    Mel
  • melpomène (tu)(tu)
  • Bonsoir,

    commençons par compléter le tableau de Y. Tanaka en utilisant la propriété de compacité, à savoir : tous les carrés d'ordre 2 totalisent 130 .

    En dessous de 24 , on place 57 puisque 33 + 24 + 16 + 57 = 130.

    La connaissance de la première ligne et de la première colonne permet ainsi de trouver les 48 nombres qui manquent encore.

    En français, on dit parfois enchanté au lieu de compact.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • À ce degré de précision du langage, il semble que si on ajoute $1$ à tous les coefficients d'un tel carré, il garde ses propriétés – d'être magique et compact. Puisqu'il y en a un, il y en a une infinité.
  • bonsoir,

    oui , mais supposons donc les nombres de 1 à 64 !

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    finalement, voici le tableau de Y. Tanaka :

    33 24 47 26 35 22 45 28
    16 57 02 55 14 59 04 53
    18 39 32 41 20 37 30 43
    63 10 49 08 61 12 51 06
    34 23 48 25 36 21 46 27
    15 58 01 56 13 60 03 54
    17 40 31 42 19 38 29 44
    64 09 50 07 62 11 52 05

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    isotropie du carré de Tanaka :

    si on recouvre le carré par des dominos (2 cases) horizontaux et si on calcule la somme des nombres de chaque domino on trouve les deux nombres 57 et 73 alternativement disposés.

    57 73 57 73
    73 57 73 57
    57 73 57 73
    73 57 73 57
    57 73 57 73
    73 57 73 57
    57 73 57 73
    73 57 73 57

    De même si on dispose les dominos verticalement, on trouve les nombres 49 et 81 alternativement disposés.

    49 81 49 81 49 81 49 81
    81 49 81 49 81 49 81 49
    49 81 49 81 49 81 49 81
    81 49 81 49 81 49 81 49

    Un carré est dit isotrope quand une disposition horizontale des dominos donne 2 nombres (dont le total est 130) et qu'il en est de même pour une disposition verticale.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonsoir,

    il y a 368 640 = 29x6! carrés de Franklin de type 1 mais ils ne sont pas tous isotropes.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    voici par exemple un carré magique de Franklin de type 1 non isotrope mais compact d'ordre 8 :

    01 58 39 32 37 30 03 60
    48 23 10 49 12 51 46 21
    26 33 64 07 62 05 28 35
    55 16 17 42 19 44 53 14
    25 34 63 08 61 06 27 36
    56 15 18 41 20 43 54 13
    02 57 40 31 38 29 04 59
    47 24 09 50 11 52 45 22

    Les dominos placés horizontalement donnent :

    59 71 67 63
    71 59 63 67
    59 71 67 63
    71 59 63 67
    59 71 67 63
    71 59 63 67
    59 71 67 63
    71 59 63 67

    Les dominos placés verticalement donnent :

    49 81 49 81 49 81 49 81
    81 49 81 49 81 49 81 49
    81 49 81 49 81 49 81 49
    49 81 49 81 49 81 49 81

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonsoir,

    outre l'isotropie voici les propriétés du carré de Tanaka et donc aussi des carrés magiques de Franklin de type 1 compacts :

    P1 - chaque demi-ligne ou demi-colonne totalise 130.

    P2 - le carré est pandiagonal ou diabolique de constante valant 260 .

    P3 - les 4 sommets de tous les rectangles 2x2 ; 2x4; 2x6 ; 2x8 ; 4x2 ; 4x4 ; 4x6 ; 4x8 ; 6x2 ; 6x4 ; 6x6 ; 6x8 ; 8x2 ; 8x4 ; 8x6 ; 8x8 totalisent 130 .

    P4 - toutes les diagonales franklines ( bent diagonal ou diagonales pliées ) totalisent 260 ; il y a 32 cas .

    P5 - le carré peut être partagé en 4 quartiers magiques et pandiagonaux ( c'est le type 1 ) .

    Bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    on trouve une initiation aux diagonales franflines dans le site de Gérard Villemin ; il suffit de googliser : Carrés de Franklin Villemin .

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    bien entendu, on n'est pas obligé de considérer l'ensemble des nombres de 1 à 64.

    Voici un carré magique qui utilise 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 et 15, 14, 14, 13, 13, 13, 12, 12, 12, 12, 11, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 .

    Il a les propriétés du carré de Tanaka en remplaçant 130 par 32 et 260 par 64 dans ce qui a été dit plus haut.

    11 06 04 11 09 08 06 09
    06 09 13 04 08 07 11 06
    12 05 05 10 10 07 07 08
    03 12 10 07 05 10 08 09
    09 08 02 13 07 10 04 11
    08 07 15 02 10 05 13 04
    14 03 07 08 12 05 09 06
    01 14 08 09 03 12 06 11

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonsoir,

    les dominos placés horizontalement donnent :

    17 15 17 15
    15 17 15 17
    17 15 17 15
    15 17 15 17
    17 15 17 15
    15 17 15 17
    17 15 17 15
    15 17 15 17

    les dominos placés verticalement donnent :

    17 15 17 15 17 15 17 15
    15 17 15 17 15 17 15 17
    17 15 17 15 17 15 17 15
    15 17 15 17 15 17 15 17

    Un exemple de diagonale frankline , celle qui commence par le 12 de la première colonne en descendant puis remontant :

    12 12 02 02 10 10 08 08 dont le total vaut 64

    Celle qui commence par ce même 12 en montant puis descendant est :

    12 09 04 09 03 08 11 08 dont le total vaut 64 .

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    il est clair que ce type de carré magique peut-être vu comme un tore magique obtenu en raboutant deux à deux les frontières du carré.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    je vais tenter de répondre à ma question : je serais fort étonné si le nombre de carrés magiques de Franklin d'ordre 8, compacts et isotropes n'était pas 46080, les carrés magiques étant construits avec les nombres 1, 2, ... 63, 64 .

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    relativement à la propriété P3 du carré de Tanaka, on pourrait se poser la question de savoir combien de quadruplets différents obtient-on.

    C'est un petit problème de dénombrement.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    le nombre de rectangles 2x2, 2x4, 2x6, 2x8, 4x2, 4x4, 4x6, 4x8, 6x2, 6x4, 6x6, 6x8, 8x2, 8x4, 8x6, 8x8 est respectivement : 7x7, 7x5, 7x3, 7x1, 5x7, 5x5, 5x3, 5x1, 3x7, 3x5, 3x3, 3x1, 1x7, 1x5, 1x3, 1x1 .

    Le nombre total de rectangles est donc (1 + 3 + 5 + 7)^2 = 16^2 = 256 .

    Il y a donc 256 quadruplets.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    le vocabulaire concernant la théorie des carrés magiques n'est pas définitivement fixé .

    Par exemple:
    panmagique = pandiagonal = diabolique.
    compact = enchanté

    Je propose, pour aller vite, d'appeler tanakaien, les carré d'ordre 8, de Franklin, compacts et isotropes.

    En voilà un dû à William Symes Andrews (1847-1929) publié en 1917 dans son célèbre ouvrage ''Magic Squares and Cubes'' :

    10 51 15 54 12 49 13 56
    23 46 18 43 21 48 20 41
    50 11 55 14 52 09 53 16
    47 22 42 19 45 24 44 17
    26 35 31 38 28 33 29 40
    07 62 02 59 05 64 04 57
    34 27 39 30 36 25 37 32
    63 06 58 03 61 08 60 01

    Bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    voici un carré tanakaien dû à Motoaki Abe datant de 1939 :

    01 48 23 58 03 46 21 60
    32 49 10 39 30 51 12 37
    42 07 64 17 44 05 62 19
    55 26 33 16 53 28 35 14
    02 47 24 57 04 45 22 59
    31 50 09 40 29 52 11 38
    41 08 63 18 43 06 61 20
    56 25 34 15 54 27 36 13

    Vous pouvez vérifier P1, P2, P3, P4, P5 ainsi que l'isotropie.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    on trouve dans l'article Carrés Magiques de Wikipédia un carré ''tanakaien'' dû à Willem Barink publié en 2007, ainsi qu'une généralisation pour un carré d'ordre 12 .

    On peut faire des carrés de ce type pour l'ordre 4n .

    Le carré de Barink est :

    60 06 11 53 44 22 27 37
    13 51 62 04 29 35 46 20
    54 12 05 59 38 28 21 43
    03 61 52 14 19 45 36 30
    58 08 09 55 42 24 25 39
    15 49 64 02 31 33 48 18
    56 10 07 57 40 26 23 41
    01 63 50 16 17 47 34 32

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    il est très facile de généraliser les carrés magiques de type ''tanakaiens'' à l'ordre 4n pour n > 1 en gardant l'isotropie et la compacité .

    Ces carrés se décomposent en n2 carrés magiques pandiagonaux d'ordre 4 , de constante 2(1 + 16n2).

    La propriété P3 est encore valable pour tous les rectangles dont la longueur et la largeur sont paires.

    Bien cordialement.

    kolotoko
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