Un cas d'égalité

Salut.

Si tu prends tous les $x_i$ dans le cercle de centre l'origine et de rayon $2$ qu'est qui va se passer ? Regarde de ce coté.

Ben, par exemple dans $\mathbb{N}^2$ j'ai, si je comprends bien $s_{2}(x) = 5$ et $s_{1}(x) = 1$ avec l'exemple que je donne, et donc ton inégalité est fausse.

PS; je prends $x$ comme l'origine. J'ai pas cherché plus loin, mais est-ce*que t'aurais pas inversé les inégalités ?

On a toujours $s_2\leqslant 3s_1-2$, ce qui se démontre par récurrence. Il y a égalité si et seulement si $X$ est un translaté de $\{2,4,6,\ldots,2n\}$.

Edit: finalement, je ne suis pas sûr que la récurrence marche.

En fait j'avais fait la récurrence en isolant le plus grand terme, sauf que j'avais supposé à tort que tous les $x_i$ sont distincts, ce qui n'est pas a priori le cas. Voici une autre approche. Quitte à translater, on peut supposer que la plus petite valeur des $x_i$ est $1$. Soit $k$ la plus grand valeur. On suppose $k>1$ sinon l'inégalité est claire. On note $a_i$ le nombre de termes égaux à $i$. Alors

$\displaystyle s_1=\sum_{i=1}^k a_i^2+2\sum_{i=1}^{k-1} a_ia_{i+1}$
$\displaystyle s_2=s_1+2\sum_{i=1}^{k-2} a_ia_{i+2}\leqslant s_1+\sum_{i=1}^{k-2} (a_ i^2+a_{i+2}^2)\leqslant s_1+2\sum_i a_i^2-(a_1^2+a_k^2)\leqslant s_1+2\sum_i a_i^2-2\leqslant 3s_1-2$.

Merci d'éviter d'appeler "divagation" une démonstration correcte.

Je trouve que je rédige beaucoup mieux que toi en général, donc améliore-toi avant de critiquer les autres.

Pourquoi d'indices distinctes @Shah d'Ock ; on s'en fout ! Dans cet ensemble, il y a $4$ couples, qui sont ....

Mais ta question m'a permis de mieux réfléchir sur la question principale. Je vous en remercie ($s_{1}(x) = 4$ et $s_{2}(x) = 4$) .

Par ailleurs as-tu pigé la démo de @JLT ?

Faut m'excuser, je suis sous état thérapeutique en ce moment et pas toujours d'accord avec mes médecins.

A plus.