Utiliser la physique pour démontrer

Bonjour,

j'a i distingué démonstration mathématique et démonstration pour bien faire sentir que le problème tournait autour de ce que signifie démonstration.
Jusqu'à preuve du contraire, le modèle de la démonstration a toujours été la démonstration mathématique, de sorte que lorsqu'on parle de démonstration, c'est toujours à une démonstration mathématique que l'on fait référence. Distinguer les deux ne va pas de soi, et pousse à s'interroger sur ce qu'est une démonstration mathématique.
Le lien que j'ai mis propose d'élargir l'idée que l'on se fait de ce qu'est une démonstration mathématique, tout en gardant l'équivalence démonstration = démonstration mathématique. C'est sur ce point que je souhaitais avoir des retours, cette proposition d'élargir les critères de ce qu'est une démonstration mathématique.

Quant au pudding, la personne que je cite se revendique profondément matérialiste et récuse la tendance à ne voir les mathématiques que comme des idées platoniciennes. Pour lui, la "démonstration" de l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et harmoniques en utilisant des résistances placées en série ou en parallèle, comme dans le lien ci-dessus, serait parfaitement valable.

C'est, à mon sens, un débat profondément philosophique et logique, qui doit attendre des éclaircissements théoriques pour apporter des réponses constructives.

Bonjour gerard0,

je viens de lire ton commentaire.

gerard0 a écrit:

On a rejeté, justement, dans les mathématiques, les "évidences".

Par cette affirmation, tu entres dans un problème éminemment philosophique : la nature du raisonnement mathématique.
On peut dire que le logicisme étant dépassé, les mathématiques ne sauraient être conçues comme une suite de tautologies. Cela veut-il dire qu'il y a des évidences qu'on ne formalise pas ? Si c'est le cas, qu'est-ce qui a changé depuis Archimède ?
Si ce n'est pas le cas, quelle est la nature de ce "plus" qui ne se laisse pas formaliser, mais n'est pas non plus une évidence ?

Bonjour,

@YvesM : Je reviens sur l'exemple que vous aviez proposé, que je trouve excellent. C'est exactement, il me semble, le genre d'utilisation de la physique qui est fait dans le lien donné.



L'exemple étant bien choisi, qu'est-ce-qui fait que la conclusion n'est pas valide, au sens mathématique du terme ? Qu'est-ce-qui distingue ce type "d'évidences" des "évidences" mathématiques ( si l'on détaillait tout à la la façon des Principia Mathematica, les démonstrations feraient des kilomètres, on est donc bien obligé de "sauter" des étapes ) ? Et si l'on arrive à fournir des critères pour distinguer les deux types d'évidences, qu'est-ce-qui empêche d'assouplir les règles des "évidences mathématiques" pour se rapprocher de ce type d'évidences, disons expérimentales ? Pourquoi cela dénaturerait-il les mathématiques ?

@gerard0 :
Je suis surpris de votre réaction, et ne m'attendais pas à ce que l'on me fasse un procès d'intention pour malveillance. Je ne vois pas ce que la partie du texte que vous souhaitez restituer ajoute à celle que j'ai publié. Il y est bien question du fait que les mathématiques ont rejeté depuis longtemps les "évidences expérimentales". Et c'est sur ce point que je me suis concentré. Je n'ai spontanément pas fait de différences entre évidences mathématiques et évidences expérimentales. Puisque l'on est sur un forum de maths, et pas au bistrot du coin, si vous faites cette différence, comment l'argumentez-vous ?
Pour souligner que les évidences n'avaient pas disparu en mathématiques, j'ai pris l'exemple du débat autour du logicisme et de la question de la réduction des mathématiques à de la logique. C'est ici qu'intervient le terme tautologie. Il a une signification syntaxique : étant donné un alphabet, éventuellement des axiomes, des règles de formation de formules, et des règles de transformation de formules, est dite tautologie, toute formule qui s'obtient à partir de ces règles. On cherche à éliminer le recours à toute forme d'évidences pour assurer de manière incontestable la vérité mathématique. Comme cela ne marche pas, en quoi la situation est-elle différente du temps d'Archimède ? Que les mathématiques soient beaucoup plus sophistiquées qu'à cette époque ne me semble pas un argument...

@brian : Effectivement, je n'ai pas d'avis. J'ai soulevé un problème, et j'attendais des arguments de la part de professionnels de la physique et des mathématiques.
Par contre, tu mentionnes la loi d'Ohm, et tu mets le doigt sur un élément qui semble avoir suscité certaines confusions. Dire qu'on utilise un raisonnement physique ne veut pas dire que l'on se dispense d'utiliser des modèles idéalisés. La physique, pour ma compréhension élémentaire, utilise des modèles mathématiques pour reproduire et même construire des expériences, et formule des lois physiques qui utilisent des concepts idéaux qui lui sont propres. Les lois physiques s'écrivent en langage mathématique depuis Galilée. Dans le cadre idéal d'application des lois physiques, pourquoi ne pas accepter comme valides les démonstrations de théorèmes mathématiques qu'elles permettent ? Dans le débat sur l'utilisation de l'ordinateur et de programmes pour "démontrer" des théorèmes,on peut ajouter celui de l'utilisation de lois physiques. Peut-être que c'est encore un peu tôt, mais cela viendra tôt ou tard, d'autant plus que les ordinateurs de plus en plus perfectionnés utilisent des propriétés de la physique.

@incognito : Je suis désolé, je ne comprends pas ton exemple.

Bonjour,

@Math Coss : La plupart des exemples que vous proposez semblent utiliser l'ordinateur, et résoudre un problème de type combinatoire. La première chose qu'il faudrait comprendre est de savoir si ces problèmes sont "intrinsèquement combinatoires pour leur résolution, et si c'est seulement leur réduction qui l'est. Dans ce dernier cas, tout le "poids" mathématique se concentre dans cette réduction.
Mais ce qui est intéressant, c'est que vos exemples mettent en évidence la notion de calculs, et les preuves ne sont automatisables que parce qu'elles sont calculables (à vous de me corriger si je me trompe). Et donc la question que j'ai posée initialement peut être "attaquée" de ce point de vue. En quoi les démonstrations mathématiques sont-elles réductibles à du calcul ?
A première vue, la pensée géométrique n'est pas réductible à du calcul, même si on peut axiomatiser des systèmes géométriques. La capacité à percevoir des symétries dans un problème et à les utiliser comme outils de preuves ne me semble pas programmable ( là aussi, me corriger si je me trompe). La physique fait un grand usage des symétries pour découvrir des lois. D'où une certaine proximité entre la pensée géométrique et la pensée physique. Si l'esprit géométrique est important dans la découverte de propriétés, l'invention de nouvelles théories, et la construction de démonstrations mathématiques, et que cet esprit est également important pour la physique, voire constitue un élément de la plupart des raisonnements physiques, alors pourquoi dès lors considérer ces derniers comme étrangers à la démonstration mathématique ?
Aucun mathématicien ne niera l'importance de l'intuition géométrique ou topologique pour la construction de démonstrations mathématiques ? Quel est le lien entre la physique à travers ces lois et ce type d'intuitions ?

@Robusta :
Vous dites :
"Tout cela sans doute parce que la physique est une structure mathématique qui a pris forme et que la forme ne dit pas tout du concept qu'elle contient."

Votre phrase est vraiment très jolie et profonde, et je ne suis pas sûr de l'avoir comprise. A priori, vous semblez concevoir les mathématiques comme un instrument pour extraire du réel ou de la forme, des concepts. La physique, même sous forme mathématique, et donc idéalisée, n'est pas assez formalisée pour que puisse émerger les idées importantes pour la production ( démonstration ?) mathématique.
Je ne sais pas si j'ai compris votre pensée, mai cela me permet effectivement de préciser que lorsque l'on parle de physique, à quoi se réfère-t-on ? A des lois bien établies mathématiquement et expérimentalement, ou à la physique en train de se faire, parfois hautement spéculative, et où la différence entre physiciens et mathématiciens n'existe pratiquement plus (cf Witten par exemple) ? Pour ma part, et c'est le point où je voulais en venir, lorsque je parle de physique, je fais référence à des théories qui marchent, qui permettent de prédire des tas de phénomènes, qui ont contribué à l'essor des technologies, et sur lesquelles on s'appuie pour évaluer rationnellement une situation.
La relativité générale a été longtemps perçue comme une théorie ésotérique, particulièrement spéculative. Sauf qu'elle marche ! Elle a permis de construire le système GPS qui est devenu incontournable dans notre mode de vie. Quand on dit que la preuve du pudding, c'est qu'on peut le manger, on veut surtout dire, que la preuve de ma théorie, c'est qu'elle marche ! On doit dès lors distinguer le problème de la démonstration mathématique et celui de la vérité. Les mathématiques nous donnent accès à la vérité, mais une théorie physique qui marche si bien qu'on l'utilise tous les jours, ne donne-t-elle pas accès à la vérité également ? Doit-on dire qu'il existe une vérité proprement mathématique ? Ou doit-on distinguer entre efficacité et vérité ? Le problème posé par la déraisonnable efficacité des mathématiques ne plaide pas pour une distinction entre plusieurs types de vérité.

@Foys :
Vous dites :

"La physique inspire et fournit des sujets d'étude (pourquoi calcule-t-on dérivées, intégrales, etc) mais ne démontre rien (la validité d'une affirmation est construite sur des résultats expérimentaux)."

Si l'on prend l'exemple des matrices pour la mécanique quantique, ou la géométrie riemannienne pour la relativité générale, il est faux de dire que les interactions entre mathématiques et physique se font dans un seul sens. Les mathématiques permettent aussi de donner corps à des intuitions physiques pour élaborer des théories validées par l'expérience. Une théorie physique est un corpus d'intuitions, formalisé et organisé par les mathématiques, de la même manière qu'une théorie mathématique est également un corpus d'intuitions formalisé par des théories mathématiques antérieures et qui les étend.
Dès lors, comme cela a déjà été souligné par des physiciens-philosophes comme Pierre Duhem, une expérience physique suppose la validité d'une quantité énorme de concepts, en particulier de concepts mathématiques. Une expérience n'est jamais seulement un fait isolé, ce sont de multiples théories avec leurs concepts qui sont testés. Dès lors, ce sont les théories impliquées qui vont orienter la manière dont on va interpréter le résultat de la mesure. Lorsqu'une succession de résultats se corroborent, on a montré la cohérence entre elles du système formé par ces théories.
A-t-on démontré quelque chose pour autant? On a seulement montré que nos théories étaient efficaces.
Alors, soit on considère que les mathématiques font partie d'un monde particulier auquel pourrait avoir accès d'autres formes de vie intelligente, ce qui n'évacue pas totalement le problème, mais le complique ( puisqu'il faut expliquer le lien des mathématiques avec la réalité et pourquoi elles sont si efficaces), soit on considère que les mathématiques sont issues de l'adaptation de l'homme à son environnement, et qu'elles ont intégré tels types de règles formelles parce qu'elles étaient les plus efficaces pour la survie. Les théories physiques que nous sélectionnons sont celles qui sont les plus efficaces pour maîtriser la nature de la même manière que les procédures formelles que nous utilisons ont été les plus efficaces pour nous permettre de survivre.
En conclusion, je ne contredis pas votre affirmation que la physique ne démontre rien, mais j'essaie d'en nuancer la portée en la mettant en perspective.
ignatus.

Merci pour ces éclairages.
De toute manière, la discussion est devenue beaucoup trop philosophique pour un forum de maths, et à moins de cibler un aspect technique, je pense que cela ne servira à rien de continuer à opposer des points de vue.
Malgré tout, pour ce qui est de la physique statistique, domaine qui m'intéresse personnellement, les physiciens sont toujours embarrassés par les fondements de cette discipline , et les arguments de Boltzmann au sujet du théorème H, et de l'hypothèse ergodique, ne les convainquent guère. C'est d'ailleurs pour combler cette insatisfaction des physiciens eux-mêmes que d'importantes recherches purement mathématiques se ont développées autour de ces questions.

Foys,
j'ai eu l'occasion de parcourir certaines de vos interventions sur ce site : il me semble que vous pouvez mieux faire.
Se contenter de dire que la physique ne démontre rien n'apporte rien au débat. C'est évidemment la doxa du mathématicien, et mon titre, volontairement provocateur, avait pour but de faire réfléchir sur cette "évidence". J'espérais, à partir d'un débat général, faire naître des questions plus précises sur lesquelles des mathématiciens puissent juger sur pièces. Que de telles problématiques puissent intéresser des logiciens aussi fameux que Leonid Levin, spécialistes de la question des démonstrations mathématiques, m'autorisent à penser qu'elles ne sont pas fumeuses.
C'est en ce sens, qu'en vous répondant, j'ai voulu souligner que la physique ne pouvait être conçue uniquement comme un auxiliaire intuitif pour les mathématiques.

Il me semble que la proposition de Chaurien est intéressante : donner des exemples de prétendues démonstrations par la physique et examiner ce qui ne va pas.
ignatus.

PS : Apparemment, Leonid Levin et Cristian Calude s'intéressent à la question de la physique pour évaluer l'impact des théorèmes d'incomplétude. Ce n'est pas exactement le raisonnement physique qui les occupe (à vérifier), mais dans quelle mesure un protocole physique pourrait atténuer les effets des théorèmes de Gödel, c'est-à-dire compléter une théorie mathématique, et donc avoir moins de propositions vraies indécidables.

Bonsoir,

je ne sais pas si mon raisonnement est valable, mais j'aurais tendance à voir l'impossibilité du mouvement perpétuel comme une conséquence du principe de conservation de l'énergie. L'énergie de l'univers étant finie et conservée, il ne peut pas y avoir une dépense d'énergie infinie...
ignatus.

Bonsoir,

il a été question plus haut de preuve formalisée. Je joins un article de vulgarisation qui date un peu :la vérité et la machine

J'ai du mal à comprendre cette notion de preuve formalisée, et sans doute qu'il faudrait comprendre un minimum la structure des preuves vérifiées pour se faire une idée de quels types d'implications ont été formalisées.
Dans quelle mesure les preuves par la physique ne pourraient pas être formalisées, si l'on assimile par exemple les principes de la physique à des propositions vraies non démontrables ?
ignatus.