Espace localement compact
Bonjour,
On dit qu'un espace topologique est localement compact s'il est séparé et chacun de ses points possède un système fondamental de voisinages compacts.
Soit $(E,\mathcal O)$ un espace topologique séparé. Je n'arrive pas à montrer l'équivalence entre :
1) $E$ est localement compact.
2) Tout point de $E$ possède un voisinage compact.
Pour 1) $\implies$ 2) c'est évident mais je bloque pour l'autre.
Soit $x\in E$ et $V$ un voisinage compact de $x$. Comment construire un système fondamental de voisinages compacts de $x$ ?
On dit qu'un espace topologique est localement compact s'il est séparé et chacun de ses points possède un système fondamental de voisinages compacts.
Soit $(E,\mathcal O)$ un espace topologique séparé. Je n'arrive pas à montrer l'équivalence entre :
1) $E$ est localement compact.
2) Tout point de $E$ possède un voisinage compact.
Pour 1) $\implies$ 2) c'est évident mais je bloque pour l'autre.
Soit $x\in E$ et $V$ un voisinage compact de $x$. Comment construire un système fondamental de voisinages compacts de $x$ ?
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Réponses
Par hypothèse, pour tout $a\in V\setminus U$, il existe $O_a$ un voisinage compact de $a$. Mais ensuite...
Par contre, j'avoue maintenant être perdu pour trouver un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$. J'ai pensé à $\overline W$ mais je n'arrive pas à montrer que $\overline W\subset U$.
Écoute, quatre coups de pouce, ça suffit. Cinq, ça serait faire complètement l'exercice à ta place.
Pour conclure la démonstration, quel voisinage compact de $x$ contenant $U$ faut-il prendre ?
On cherche un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$ ; parlant de son complémentaire dans $V$, on cherche un ouvert de $V$, disjoint d'un voisinage ouvert de $x$ et contenant $V\setminus U$.
Surprise, on l'a déjà !
Soit $x\in E$ et $V$ un voisinage compact de $x$. On va directement exhiber un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages compacts de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.
Lemme : tout point $a$ d'un espace topologique $(X,\mathcal O)$ admet un système fondamental de voisinages fermés.
En effet, $\mathcal O_a:=\{\overline{O}, a\in O\in\mathcal O\}$ en est un.
Dans l'espace topologique $(V,\mathcal O_V)$ induit, $x$ admet donc d'après le lemme un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages fermés. Pour avoir le résultat, il reste donc à montrer que chaque élément de $\mathcal V$ est un voisinage compact de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.
Comme $V$ est compact et séparé, les éléments de $\mathcal V$ sont compacts dans $(V,\mathcal O_V)$. Puis, comme $V$ est compact, les éléments de $\mathcal V$ sont compacts dans $(E,\mathcal O)$.
Comme $V$ est un voisinage de $x$, les éléments de $\mathcal V$ sont des voisinages de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.
Du coup, dans ma démonstration, est-il toutefois vrai que $x$ admet un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages fermés dans $(V,\mathcal O_V)$ ? Car c'est ce qui est dit dans mon livre. Et vu que je pensais ça vrai à l'aide de mon lemme qui s'avère lui faux...
Ton lemme est vrai dans un espace localement compact (mais bon ça ne nous fait pas avancer) mais aussi dans un espace compact, ce qu'est $V$ muni de la topologie induite.
Démontre ton lemme dans un espace compact et applique le résultat à $V$ muni de sa topologie induite. Je ne sais pas si c'est plus simple...
Au départ, on est dans un espace $E$ topologique et localement compact. On a un ouvert $U$ voisinage de $x$ et on voudrait trouver un voisinage compact de $x$ inclus dans $U$.
On a juste à notre disposition un voisinage compact $V$ de $x$ vu la compacité locale de l'espace dans lequel on travaille.
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Muni de sa topologie induite, $V$ est compact et $W=V \cap U$ est un voisinage de $x$ pour cette topologie, donc il existe $V'$ voisinage fermé (donc compact) pour la topologie induite sur $V$ tel que $V' \subset V \cap U$.
Or $V'$ étant un voisinage de $x$ pour la topologie induite sur $V$ et $V$ étant un voisinage de $x$, $V'$ est aussi un voisinage de $x$ pour la topologie de $E$. De plus il est compact et enfin il est inclus dans $U$. Il répond à la question.
Ce sont ces distinctions entre topologie de $E$ et topologie induite sur $V$ et la nécessité du dernier argument (paragraphe ci-dessus) qui font que je trouve ça plus simple si $E$ est tout simplement compact.
Bien sûr, tu peux toujours prétendre qu'il n'est pas évident que les voisinages ouverts contenus dans le voisinage $V$ forment une base de voisinages de $x$, m'enfin ...
Écoute je n'arrive pas à comprendre où tu veux en venir, ni ton scepticisme. J'ai avant le post auquel je te réponds présentement expliqué en quoi la démarche que je suggérais à notre ami ne me paraissait peut-être pas si simple en explicitant le raisonnement auquel j'avais pensé, c'est tout. Tu devrais être un peu moins soupçonneux, je suis de totale bonne foi dans cette histoire.
Là, c'est moi qui ne vois pas où tu veux en venir en contestant que c'est la même chose.
Oui on peut partir d'un voisinage ouvert contenu dans $V$ (et la je trouve que c'est déjà une étape qu'il ne faut pas louper), excuse-moi de ne pas t'avoir lu attentivement.
Ensuite une fois obtenu ton voisinage compact (pour la topologie de $V$) contenu dans $U$, il faut noter que c'est un voisinage de $x$ aussi pour la topologie de l'espace de départ (je suis d'accord que c'est évident).
Donc effectivement j'avais loupé ton $U$ et j'avais raisonné sans partir de $U \subset V$. Ce petit pas grand'chose que tu avais fait et que j'ai loupé + revenir à l'espace de départ , c'est pas dur mais ça a rendu pour moi le raisonnement pas si évident.
Bon ça a le mérite de m'avoir rendu parfaitement clair ta remarque.