Polynômes de matrices

raboteux
raboteux
dans Algèbre
Bonjour à tous
J'ai un petit doute à lever.

- On sait que si $A$ est une matrice inversible quelconque, alors pour tout polynôme $P$ et $Q$ évalués en $A$, on a $P(A).Q(A)=Q(A)P(A)$, autrement dit les deux polynômes commutent.

- Considérons maintenant deux matrices inversibles différentes (mais de même ordre bien sûr) telles que $A$ et $B$ commutent. Soit $P'(A)$, un polynôme quelconque de $A$ et $Q'(B)$, un polynôme quelconque de $B$.
A-t-on dans ce $P'(A)Q'(B)=Q'(B)P'(A)$ ?

Merci par avance.

Réponses

  • Colas
    Colas
    Oui.

    On n’a pas besoin que les matrices soient inversibles.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Il suffit d’écire les polynômes avec leur coefficients et on tombe sur des termes de la forme $a_i b_i A^n B^m$ et comme les matrices commutent on a $A^nB^m=B^mA^n$ et les produit des polynômes commute, non ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Un détail d'écriture : drôle d'idée de noter $(P',Q')$ « un autre » couple de polynômes quelconques dans la mesure où on a abandonné le premier couple et où l'apostrophe indique une dérivation.
  • raboteux
    raboteux
    Lol, aucun lien avec la dérivation dans le cas de figure que je présentais...
  • Crapul
    Crapul
    MathCoss te faisait deux remarques :
    -tu pouvais très bien réutiliser tels quels $P$ et $Q$, puisque dans ton premier "tiret", les deux variables sont muettes, ça n'aurait choqué personne,
    -on évite d'utiliser des $'$ pour des polynômes, même si toi tu sais qu'il ne s'agit pas de dérivées.
    C'était donc un conseil.
    N'oublie pas de remercier les gens qui t'ont répondu, au lieu de mal prendre les conseils que l'on te donne.
  • Poirot
    Poirot
    Étrange question, déjà avec le polynôme $P'=Q'=X$ on voit très bien que ça ne peut pas fonctionner !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Euh, Poirot, tu n'as pas vu qu'on suppose que $A$ et $B$ commutent ?
  • Poirot
    Poirot
    En effet je n'avais pas vu, désolé !
  • raboteux
    raboteux
    Crapul, il n'y a rien que j'ai pris mal, math cross m'a aidé des dizaines de fois et je n'ai aucun problème avec son post, merci de ne pas voir du mal partout....
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