Polynômes de matrices
Bonjour à tous
J'ai un petit doute à lever.
- On sait que si $A$ est une matrice inversible quelconque, alors pour tout polynôme $P$ et $Q$ évalués en $A$, on a $P(A).Q(A)=Q(A)P(A)$, autrement dit les deux polynômes commutent.
- Considérons maintenant deux matrices inversibles différentes (mais de même ordre bien sûr) telles que $A$ et $B$ commutent. Soit $P'(A)$, un polynôme quelconque de $A$ et $Q'(B)$, un polynôme quelconque de $B$.
A-t-on dans ce $P'(A)Q'(B)=Q'(B)P'(A)$ ?
Merci par avance.
J'ai un petit doute à lever.
- On sait que si $A$ est une matrice inversible quelconque, alors pour tout polynôme $P$ et $Q$ évalués en $A$, on a $P(A).Q(A)=Q(A)P(A)$, autrement dit les deux polynômes commutent.
- Considérons maintenant deux matrices inversibles différentes (mais de même ordre bien sûr) telles que $A$ et $B$ commutent. Soit $P'(A)$, un polynôme quelconque de $A$ et $Q'(B)$, un polynôme quelconque de $B$.
A-t-on dans ce $P'(A)Q'(B)=Q'(B)P'(A)$ ?
Merci par avance.
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Réponses
On n’a pas besoin que les matrices soient inversibles.
Il suffit d’écire les polynômes avec leur coefficients et on tombe sur des termes de la forme $a_i b_i A^n B^m$ et comme les matrices commutent on a $A^nB^m=B^mA^n$ et les produit des polynômes commute, non ?
-tu pouvais très bien réutiliser tels quels $P$ et $Q$, puisque dans ton premier "tiret", les deux variables sont muettes, ça n'aurait choqué personne,
-on évite d'utiliser des $'$ pour des polynômes, même si toi tu sais qu'il ne s'agit pas de dérivées.
C'était donc un conseil.
N'oublie pas de remercier les gens qui t'ont répondu, au lieu de mal prendre les conseils que l'on te donne.