Polynôme interpolateur
Bonjour à tous
J'ai quelques difficultés de compréhension dans cette preuve de la surjectivité de l'exponentielle (version matrices) :
On construit un polynôme interpolateur tel que $\mu_i=Q(\lambda_i)$, ok, je vois bien l'idée derrière, par contre quand on prend l'image de $D$ par ce polynôme pourquoi a-t-on $Q(D)=PQ(diag (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))P^{-1}$, etc ...
Je ne comprends pas le procédé de calcul ...
Merci de m’éclairer un peu...
J'ai quelques difficultés de compréhension dans cette preuve de la surjectivité de l'exponentielle (version matrices) :
On construit un polynôme interpolateur tel que $\mu_i=Q(\lambda_i)$, ok, je vois bien l'idée derrière, par contre quand on prend l'image de $D$ par ce polynôme pourquoi a-t-on $Q(D)=PQ(diag (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))P^{-1}$, etc ...
Je ne comprends pas le procédé de calcul ...
Merci de m’éclairer un peu...
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Réponses
Si $f$ est l'endomorphisme de $C^n$ canoniquement associé à $D$ donc dans la base canonique $B$,
alors $Diag(...)$ est la matrice de $f$ dans une base $B'$ de vecteurs propres,
et par la formule de changement de base, on a : $$D=P.Diag(...).P^{-1}$$
et $Q(f)$ a pour matrices :
- $Q(D)$ dans la base $B$,
- $Q(Diag(...))$ dans la base $B'$
(à justifier proprement, en vérifiant sur des polynômes $X^k$ puis en utilisant la linéarité...)
et donc par la formule de changement de base, on a : $$Q(D)=P.Q(Diag(...)).P^{-1}$$
Edité !
Voilà une question basique mais pour laquelle je ne trouve pas de réponse toute faite sur Google.
Soit $A$ est une matrice diagonalisable, i.e il existe $D$ une matrice diagonale exprimée dans une autre base (de vecteurs propres) tel que $D=P^{-1}AP$.
Cependant, je vois dans certains ouvrages $A=P^{-1}DP$.
Est-ce équivalent pour qualifier le caractère "diagonalisable" d'une matrice ?
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD]
Oui, bien sûr c'est équivalent ; il suffit de décider qui on appelle $P$. $$
D=P^{-1}AP\Longleftrightarrow PDP^{-1}=A$$
Merci, l'équivalence que tu donnes, c'est la classique que l'on voit partout :
$D=P^{-1}AP\Longleftrightarrow PDP^{-1}=A$
Cependant, on a aussi :
$D=P'AP'^{-1}\Longleftrightarrow P'^{-1}DP'=A$
On passe de l'une a l'autre en posant $P'=P^{-1}$, si toutefois j'ai bien compris ton explication?
Magnolia, je serais intéressé par une référence sérieuse où ça se passe dans l'autre sens ([size=x-small]et bonjour ![/size]).