Nombres de combinaisons

On peut plutôt compter les suites de chiffres qui contiennent un 30. Mais il faut juste faire attention qu'une suite de 6 chiffres peut contenir deux 30, voire trois 30.
Un doute me saisit : comment faut-il comprendre "le 0 n'est jamais après le 3". Faut il comprendre qu'on n'a pas de 30 ? Ou alors, que s'il y a un 3 quelque part, il n'y a aucun 0 à droite ?
Décidément, cet énoncé est très mal fichu !

Ah oui, je comprends l'objection de GBZM. Moi j'ai compris que juste après 3 il n'y a pas 0, et c'est tout. Par exemple pour moi 310 convient. Mais si l'on ne veut aucun 0 après un 3, c'est autre chose. Bon, ça fait deux problèmes pour le prix d'un seul. J'espère en avoir résolu un.

Salut.
Pour le nombre de suites dont aucun terme n'est égal à $1$, est ce que c'est pas $(b-1)^n$ @Chaurien ?

Ben, j'espère que @alban343 a saisi ton raisonnement..

Je reviens sur la première interprétation. On a un entier $b \ge 2$ et l'on cherche le nombre $x_n$ de $n$-suites de $\{0,1,...,b-1\}$ dans lesquelles il n'y a jamais un $1$ (ou un $3$, si $b \ge 4$) suivi de $0$.
Si ce que j'ai écrit plus haut est correct, on a : $x_{n+1}=b x_n -x_{n-1}$. C'est donc une suite à récurrence linéaire d'ordre 2, à coefficients constants, avec conditions initiales : $x_1=b$, $x_2=b^2-1$. On peut prolonger la récurrence par $x_0=1$.
On trouve l'expression de $x_n$ selon la méthode bien connue pour ce type de suite. Pour $b \ge 3$ l'équation caractéristique a deux racines réelles, qui donnent cette expression, mais la formule obtenue, avec ses racines carrées, est de peu d'intérêt pratique si l'on veut la valeur numérique de $x_6$ pour $b=9+1$. Mieux vaut faire de proche en proche les calculs de $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, c'est pas la mer à boire. On trouve si je ne me trompe : $950~599$.

Si l'on veut seulement, parmi ces $n$-suites, celles qui sont de vraies écritures de nombres à $n$ chiffres, selon l'objection de GBZM, c'est-à-dire qui ne commencent pas par $0$, on peut observer que le nombre de ces $n$-suites commençant par $0$ est $x_{n-1}$, et que donc les autres sont au nombre de $x'_n=x_n-x_{n-1}$. Même remarque vaut pour l'autre interprétation de ce problème.

Bonne journée, encore chaude.
Fr. Ch.

On peut généraliser en dénombrant les mots de $n$ lettres formés à partir d'un alphabet de $N$ lettres $(L_1,\cdots,L_N)$:
1) qui ne possèdent pas le sous-mot $L_1L_2\cdots L_r$
2) qui ne possèdent pas les lettres $L_1,L_2,\cdots ,L_r$ dans cet ordre, consécutivement ou non.

Pour le premier cas il existe une formule (relativement) simple avec un sigma de $0$ à $\lfloor n/r\rfloor$, un coefficient binomial et une puissance de $N$.
Pour le second cas il existe une formule simple avec un sigma de $0$ à $r-1$, un coefficient binomial et une puissance de $N-1$.

Moi j'avais vu sous tes résultats @Chaurien, un raisonnement élémentaire de dénombrement (avec des $n$-listes) en voyant que tu avais généralisé en travaillant en base $b$ ($b\geq 2$ quelconque).
Du coup le raisonnement tenu pour $1$, peut être tenu pour n'importe quel nombre de la liste $\{0, 1, 2,\ldots, b-1\}$ à la place de $1$.
@alban343 obtient aisément alors sa réponse, en prenant $b = 10$ et $ n=6$.

Merci.