Graphe somme d'un ordre et de son dual

Je me demande ceci de temps en temps :

Question 1

Soit $M\in M_n(\mathbb F_2)$ symétrique avec des $0$ sur la diagonale. Existe-t-il $T\in M_n(\mathbb F_2)$ et un ordre partiel $\leq_T$ sur $[1,n]\cap \mathbb N$ tel que $T_{ij}=1$ ssi $i\leq_T j$ et tel que $M=T+T^t$.

$T^t$ désigne la transposée de $T$ et $T_{ij}$ est le coefficient $i,j$ de $T$.

[rajout ultérieur en rouge]