Comptons !

soland · July 2018

On dispose de huit cubes blancs et de huit cubes noirs.
On en choisit huit avec lesquels on forme un cube plus grand.

(A) Combien de cubes différents peut-on former,
aux rotations près du grand cube ?

(B) Et si, en plus, on ne distingue pas un cube de celui obtenu
en inversant les "couleurs" ?

Dom · July 2018

Flûte, je dois être mal réveillé : je ne comprends pas la deuxième phrase ("avec huit cubes on en fait un plus grand").

GaBuZoMeu · July 2018

Oui, tu dois avoir la comprenette bouchée. ;-)
$2^3=8$.
Une application de la formule de Burnside qui change un peu des colliers de perles.

Dom · July 2018

Ha oui, quelle méprise !

GaBuZoMeu · July 2018

Pour A :

$$ \frac1{24}(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2)=23$$

GaBuZoMeu · July 2018

Pour B :
$$
\begin{align}
\frac1{48}\,&\big(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2\\
&\quad 0+6\times 2^4+ 3\times 2^4+ 8\times 0 + 6\times 2^2\big)=15
\end{align}$$

soland · July 2018

Théorème de Burnside-Polya, en contrées germaniques.

15, ce n'est pas beaucoup. Peut-on voir les 3/5 (3 d'une couleur et 5 de l'autre)
et les 4/4 ?

soland · July 2018

Et de deux ! 78150

GaBuZoMeu · July 2018

Il y a à la fois la formule (ou lemme) de Burnside, et le théorème d'énumération de Polya. Ce n'est pas tout à fait la même chose.

soland · July 2018

Ah oui, j'ai vérifié.

GaBuZoMeu · July 2018

Puisqu'on parle du théorème d'énumération de Polya, voir ci-dessous. Le polynôme marche pour le problème A, par exemple le coefficient de $X^3Y^5$ donne le nombre de cubes distincts avec 3 blancs et 5 noirs. Pour $B$, c'est un peu plus délicat, mais on retrouve bien 15=1+1+3+3+7. 78180

Comptons !

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