Comptons !
On dispose de huit cubes blancs et de huit cubes noirs.
On en choisit huit avec lesquels on forme un cube plus grand.
(A) Combien de cubes différents peut-on former,
aux rotations près du grand cube ?
(B) Et si, en plus, on ne distingue pas un cube de celui obtenu
en inversant les "couleurs" ?
On en choisit huit avec lesquels on forme un cube plus grand.
(A) Combien de cubes différents peut-on former,
aux rotations près du grand cube ?
(B) Et si, en plus, on ne distingue pas un cube de celui obtenu
en inversant les "couleurs" ?
Réponses
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Flûte, je dois être mal réveillé : je ne comprends pas la deuxième phrase ("avec huit cubes on en fait un plus grand").
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Oui, tu dois avoir la comprenette bouchée. ;-)
$2^3=8$.
Une application de la formule de Burnside qui change un peu des colliers de perles. -
Ha oui, quelle méprise !
-
Pour A :
$$ \frac1{24}(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2)=23$$ -
Pour B :
$$
\begin{align}
\frac1{48}\,&\big(2^8+6\times 2^4+3\times 2^4+8\times 2^4+6\times 2^2\\
&\quad 0+6\times 2^4+ 3\times 2^4+ 8\times 0 + 6\times 2^2\big)=15
\end{align}$$ -
Théorème de Burnside-Polya, en contrées germaniques.
15, ce n'est pas beaucoup. Peut-on voir les 3/5 (3 d'une couleur et 5 de l'autre)
et les 4/4 ? -
Et de deux !
-
Il y a à la fois la formule (ou lemme) de Burnside, et le théorème d'énumération de Polya. Ce n'est pas tout à fait la même chose.
-
Ah oui, j'ai vérifié.
-
Puisqu'on parle du théorème d'énumération de Polya, voir ci-dessous. Le polynôme marche pour le problème A, par exemple le coefficient de $X^3Y^5$ donne le nombre de cubes distincts avec 3 blancs et 5 noirs. Pour $B$, c'est un peu plus délicat, mais on retrouve bien 15=1+1+3+3+7.
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